ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 335 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите целые решения неравенства:

а) $\frac{2x^2}{3}<\frac{2x+3}{4}$;

б) $\frac{4x+2}{3}>\frac{5x^2}{6}$;

в) $(x+2\sqrt{3})(x+3\sqrt{2})<0$;

г) $(x+1-\sqrt{5})(x+1-\sqrt{6})\le 0$.

а) $\frac{2x^2}{3}<\frac{2x+3}{4}$:

Умножим обе части на 12:
$4\cdot 2x^2<3(2x+3);$
$8x^2<6x+9;$
$8x^2-6x-9<0;$

$\mathrm{1)\; a}=8>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:
$8x^2-6x-9=0;$
$D=6^2+4\cdot 8\cdot 9=36+288=324={18}^2,\text{ тогда:}$
$x_1=\frac{6-18}{2\cdot 8}=-\frac{3}{4}$
$x_2=\frac{6+18}{2\cdot 8}=\frac{24}{16}=1\frac{1}{2}$

3) Схематический рисунок

$$-\frac{3}{4}<x<1\frac{1}{2};$$
Целые решения: $0;1$

б) $\frac{4x+2}{3}>\frac{5x^2}{6}$:

Умножим обе части на 6:
$2(4x+2)>5x^2;$
$8x+4>5x^2;$
$-5x^2+8x+4>0;$

$\mathrm{1)\; a}=-5<0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:
$-5x^2+8x+4=0;$
$D=8^2+4\cdot 5\cdot 4=64+80=144,\text{ тогда:}$
$x_1=\frac{-8-12}{2\cdot (-5)}=2$
$x_2=\frac{-8+12}{2\cdot (-5)}=-\mathrm{0,4}$

3) Схематический рисунок

-0,4 < х < 2;

Целые решения: $0;1$

в) $(x+2\sqrt{3})(x+3\sqrt{2})<0$:

$\mathrm{1)\; a}=1>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:
$x_1+2\sqrt{3}=0\Rightarrow x_1=-2\sqrt{3}\approx -\mathrm{3,46}$
$x_2+3\sqrt{2}=0\Rightarrow x_2=-3\sqrt{2}\approx -\mathrm{4,24}$

3) Схематический рисунок

$$-3\sqrt{2}<x<-2\sqrt{3};$$
Целое решение: $-4$

г) $(x+1-\sqrt{5})(x+1-\sqrt{6})\le 0$:

$\mathrm{1)\; a}=1>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:
$x_1+1-\sqrt{5}=0\Rightarrow x_1=\sqrt{5}-1\approx \mathrm{1,23}$
$x_2+1-\sqrt{6}=0\Rightarrow x_2=\sqrt{6}-1\approx \mathrm{1,45}$

3) Схематический рисунок

$$\sqrt{5}-1<x<\sqrt{6}-1;$$

Целые решения отсутствуют.

а) $\frac{2x^2}{3}<\frac{2x+3}{4}$

умножим обе части неравенства на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4), чтобы избавиться от дробей:

$12\cdot \frac{2x^2}{3}<12\cdot \frac{2x+3}{4}$

$4\cdot 2x^2<3(2x+3)$

$8x^2<6x+9$

переносим все слагаемые в левую часть и приводим подобные:

$8x^2-6x-9<0$

это квадратное неравенство с коэффициентами:

$a=8,b=-6,c=-9$

так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх, значит выражение меньше нуля между корнями

находим дискриминант:

$D=(-6{)}^2-4\cdot 8\cdot (-9)=36+288=324$

так как $D>0$, уравнение имеет два различных вещественных корня

находим корни по формуле:

$x_1=\frac{-(-6)-\sqrt{324}}{2\cdot 8}=\frac{6-18}{16}=-\frac{12}{16}=-\frac{3}{4}$

$x_2=\frac{-(-6)+\sqrt{324}}{2\cdot 8}=\frac{6+18}{16}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$

так как неравенство строгое и парабола вверх, решением будет промежуток между корнями:

$x\in (-\frac{3}{4};\frac{3}{2})$

целые числа, принадлежащие этому промежутку: 0 и 1

ответ: 

б) $\frac{4x+2}{3}>\frac{5x^2}{6}$

умножаем обе части на 6:

$6\cdot \frac{4x+2}{3}>6\cdot \frac{5x^2}{6}$

$2(4x+2)>5x^2$

$8x+4>5x^2$

переносим все влево:

$-5x^2+8x+4>0$

или

$5x^2-8x-4<0$

умножим на (-1), при этом меняется знак неравенства

коэффициенты:

$a=-5,b=8,c=4$

ветви параболы направлены вниз, так как $a<0$, значит выражение больше нуля между корнями

находим дискриминант:

$D=8^2-4\cdot (-5)\cdot 4=64+80=144$

корни:

$x_1=\frac{-8-\sqrt{144}}{2\cdot (-5)}=\frac{-8-12}{-10}=\frac{-20}{-10}=2$

$x_2=\frac{-8+\sqrt{144}}{2\cdot (-5)}=\frac{-8+12}{-10}=\frac{4}{-10}=-\frac{2}{5}$

решение неравенства:

$x\in (-\frac{2}{5};2)$

целые числа из этого промежутка: 0 и 1

ответ: $0;1$

в) $(x+2\sqrt{3})(x+3\sqrt{2})<0$

здесь произведение двух линейных множителей, значит корни:

$x_1=-2\sqrt{3}\approx -3.464$

$x_2=-3\sqrt{2}\approx -4.243$

поскольку $-4.243<-3.464$, то меньшее из двух — $x_2$, большее — $x_1$

так как коэффициент при $x^2$ положительный, ветви параболы направлены вверх, и выражение будет меньше нуля между корнями:

$x\in (-3\sqrt{2};-2\sqrt{3})$

приблизительно: $x\in (-4.243;-3.464)$

единственное целое число в этом промежутке — $-4$

ответ: $-4$

г) $(x+1-\sqrt{5})(x+1-\sqrt{6})\le 0$

корни:

$x_1=\sqrt{5}-1\approx 2.236-1=1.236$

$x_2=\sqrt{6}-1\approx 2.449-1=1.449$

меньший корень: $x_1$, больший — $x_2$

ветви параболы направлены вверх, значит неравенство выполняется на отрезке между корнями включительно:

$x\in [\sqrt{5}-1;\sqrt{6}-1]\approx [1.236;1.449]$

в этом отрезке нет целых чисел

ответ: нет решений