ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 334 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\frac{x^2}{2}\ge \frac{4-3x}{5}$;

б) $\frac{7x-8}{2}\le \frac{3x^2}{4}$.

а) $\frac{x^2}{2}\ge \frac{4-3x}{5}$:

Умножим обе части на 10:
$5x^2\ge 2(4-3x);$
$5x^2\ge 8-6x;$
$5x^2+6x-8\ge 0;$

$\mathrm{1)\; a}=5>0$, значит ветви направлены вверх;

2) Нули функции:
$5x^2+6x-8=0;$
$D=6^2+4\cdot 5\cdot 8=36+160=196={14}^2,\text{ тогда:}$
$x_1=\frac{-6-14}{2\cdot 5}=-2\text{и}{x}_2=\frac{-6+14}{2\cdot 5}=\mathrm{0,8};$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\mathrm{\infty };-2]\cup [\mathrm{0,8};+\mathrm{\infty })$

б) $\frac{7x-8}{2}\le \frac{3x^2}{4}$

Умножим обе части на 4:
$2(7x-8)\le 3x^2;$
$14x-16\le 3x^2;$
$-3x^2+14x-16\le 0;$

$\mathrm{1)\; a}=-3<0$, значит ветви направлены вниз;

2) Нули функции:
$-3x^2+14x-16=0;$
$D={14}^2-4\cdot 3\cdot 16=196-192=4,\text{ тогда:}$
$x_1=\frac{-14-2}{2\cdot (-3)}=\frac{16}{6}=2\frac{2}{3}\text{и}{x}_2=\frac{-14+2}{2\cdot (-3)}=2;$

3) Схематический рисунок:

Ответ: $(-\mathrm{\infty };2]\cup [2\frac{2}{3};+\mathrm{\infty })$

а) $\frac{x^2}{2}\ge \frac{4-3x}{5}$

Преобразуем неравенство так, чтобы избавиться от дробей. Для этого найдём общий знаменатель. Общий знаменатель чисел 2 и 5 равен 10. Умножим обе части неравенства на 10:

$10\cdot \frac{x^2}{2}\ge 10\cdot \frac{4-3x}{5}$

$5x^2\ge 2(4-3x)$

Раскроем скобки в правой части:

$5x^2\ge 8-6x$

Перенесём всё в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$5x^2+6x-8\ge 0$

Теперь решим квадратное уравнение:

$5x^2+6x-8=0$

Вычислим дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$:

$D=6^2-4\cdot 5\cdot (-8)=36+160=196$

Извлечём корень из дискриминанта:

$\sqrt{196}=14$

Вычислим корни по формуле:

$x_1=\frac{-6-14}{2\cdot 5}=\frac{-20}{10}=-2$

$x_2=\frac{-6+14}{2\cdot 5}=\frac{8}{10}=\mathrm{0,8}$

Так как коэффициент $a=5>0$, парабола ветвями вверх, следовательно, неравенство $5x^2+6x-8\ge 0$ выполняется на внешних промежутках:

$x\in (-\mathrm{\infty };-2]\cup [\mathrm{0,8};+\mathrm{\infty })$

Ответ: $(-\mathrm{\infty };-2]\cup [\mathrm{0,8};+\mathrm{\infty })$

б) $\frac{7x-8}{2}\le \frac{3x^2}{4}$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$4\cdot \frac{7x-8}{2}\le 4\cdot \frac{3x^2}{4}$

$2(7x-8)\le 3x^2$

Раскроем скобки:

$14x-16\le 3x^2$

Переносим всё в одну часть, меняя знак:

$-3x^2+14x-16\le 0$

Решим квадратное уравнение:

$-3x^2+14x-16=0$

Найдём дискриминант:

$D={14}^2-4\cdot (-3)\cdot (-16)=196-192=4$

Корень из дискриминанта:

$\sqrt{4}=2$

Находим корни:

$x_1=\frac{-14-2}{2\cdot (-3)}=\frac{-16}{-6}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$

$x_2=\frac{-14+2}{2\cdot (-3)}=\frac{-12}{-6}=2$

Так как $a=-3<0$, ветви параболы направлены вниз. Неравенство $-3x^2+14x-16\le 0$ выполняется между корнями, т.е. внутри промежутка:

$x\in [2;2\frac{2}{3}]$

Ответ: $[2;2\frac{2}{3}]$