ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 333 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Найдите значение коэффициента $c$, при котором график функции $y=\frac{1}{3}{x}^2+c$ проходит через точку $A(-6;10)$. Определите, принимает ли эта функция значения, равные 20 и -20.

б) Известно, что вершина параболы находится в точке $(0;4)$ и она пересекает ось $x$ в точке $(-4;0)$. Запишите уравнение этой параболы. Определите координаты точек, в которых она пересекает прямую $y=-21$.

а) $y=\frac{1}{3}{x}^2+c$:

1) Проходит через точку $A(-6;10)$:
$10=\frac{1}{3}\cdot (-6{)}^2+c;$
$10=\frac{1}{3}\cdot 36+c;$
$10=12+c;$
$c=10-12=-2;$

$\mathrm{2)\; y}=\frac{1}{3}{x}^2-2$:

– Принимает значение, равное 20 при:
$\frac{1}{3}{x}^2-2=20;$
$\frac{1}{3}{x}^2=22\mathrm{\mid }\cdot 3;$
$x^2=66,\text{ отсюда }x=\pm \sqrt{66};$

– Принимает значение, равное $-20$ при:
$\frac{1}{3}{x}^2-2=-20;$
$\frac{1}{3}{x}^2=-18\mathrm{\mid }\cdot 3;$
$x^2=-54\text{— корней нет;}$

Ответ: $c=-2$; $y=20$ при $x=\pm \sqrt{66}$.

б) $y=a{x}^2+bx+c$, $a\mathrm{\ne }0$:

1) Вершина в точке $(0;4)$:
$x_0=-\frac{b}{2a}=0,\text{ отсюда }b=0;$
$y_0=a\cdot 0^2+0\cdot 0+c=4,\text{ отсюда }c=4;$

$\mathrm{2)\; y}=a{x}^2+4$ пересекает ось $x$ в точке $(-4;0)$:
$0=a\cdot (-4{)}^2+4;$
$-4=16a,\text{ отсюда }a=-\frac{1}{4};$

3) Искомое уравнение:
$y=-\frac{1}{4}{x}^2+4;$

4) Пересекает прямую $y=-21$ при:
$-21=-\frac{1}{4}{x}^2+4;$
$\frac{1}{4}{x}^2=25\mathrm{\mid }\cdot 4;$
$x^2=100,\text{ отсюда }x=\pm 10;$

Ответ: $y=-\frac{1}{4}{x}^2+4$; $(-10;-21)$ и $(10;-21)$.

а) $y=\frac{1}{3}{x}^2+c$

Известно, что график функции проходит через точку $A(-6;10)$, то есть при $x=-6$ значение функции $y=10$. Подставим координаты точки в уравнение функции:

$10=\frac{1}{3}\cdot (-6{)}^2+c$

Вычислим квадрат числа $-6$:

$(-6{)}^2=36$, подставим:

$10=\frac{1}{3}\cdot 36+c$

Вычислим произведение:

$\frac{1}{3}\cdot 36=12$, значит:

$10=12+c$

Вычислим значение $c$:

$c=10-12=-2$

Таким образом, функция имеет вид:

$y=\frac{1}{3}{x}^2-2$

Теперь определим, принимает ли эта функция значения 20 и $-20$.

Пусть $y=20$:

$\frac{1}{3}{x}^2-2=20$

Прибавим 2 к обеим частям:

$\frac{1}{3}{x}^2=22$

Умножим обе части на 3:

$x^2=66$

Решим уравнение:

$x=\pm \sqrt{66}$

Следовательно, значение 20 функция принимает при $x=\pm \sqrt{66}$

Теперь проверим, может ли функция принять значение $-20$:

$\frac{1}{3}{x}^2-2=-20$

Прибавим 2 к обеим частям:

$\frac{1}{3}{x}^2=-18$

Умножим на 3:

$x^2=-54$

Корней нет, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, значение $-20$ функция не принимает.

Ответ: $c=-2$; $y=20$ при $x=\pm \sqrt{66}$

б) $y=a{x}^2+bx+c$, $a\mathrm{\ne }0$

Известно, что вершина параболы находится в точке $(0;4)$. Координата вершины $x_0$ находится по формуле:

$x_0=-\frac{b}{2a}$

Подставим $x_0=0$:

$0=-\frac{b}{2a}\Rightarrow b=0$

Также известно, что $y_0=4$. Подставим в уравнение параболы:

$y=a\cdot 0^2+0\cdot 0+c=4\Rightarrow c=4$

Теперь уравнение принимает вид:

$y=a{x}^2+4$

Из условия: парабола пересекает ось $x$ в точке $(-4;0)$. Подставим координаты точки в уравнение:

$0=a\cdot (-4{)}^2+4$

Вычислим квадрат:

$0=16a+4$

Вычислим значение $a$:

$16a=-4\Rightarrow a=-\frac{1}{4}$

Таким образом, уравнение параболы:

$y=-\frac{1}{4}{x}^2+4$

Теперь определим координаты точек пересечения графика функции с прямой $y=-21$

Приравняем:

$-21=-\frac{1}{4}{x}^2+4$

Вычтем 4:

$-25=-\frac{1}{4}{x}^2$

Умножим обе части на $-1$:

$25=\frac{1}{4}{x}^2$

Умножим на 4:

$x^2=100\Rightarrow x=\pm 10$

Подставим найденные значения $x$ в уравнение $y=-21$, координаты точек:

$(-10;-21)$ и $(10;-21)$

Ответ: $y=-\frac{1}{4}{x}^2+4$; $(-10;-21)$ и $(10;-21)$