ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 331 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции и определите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения:

а) $y=\{\begin{array}{ll}\frac{6}{x},& \text{если }x>2;\\ x^2-1,& \text{если }\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le 2;\\ -\frac{6}{x},& \text{если }x<-2;\end{array}$

б) $y=\{\begin{array}{ll}4-2x,& \text{если }x>1;\\ x^2+1,& \text{если }\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le 1;\\ 4+2x,& \text{если }x<-1;\end{array}$

а) $y=\{\begin{array}{ll}\frac{6}{x},& \text{если }x>2;\\ x^2-1,& \text{если }\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le 2;\\ -\frac{6}{x},& \text{если }x<-2;\end{array}$

$\mathrm{1)\; y}=\frac{6}{x}$ — уравнение гиперболы:

$\overline{)\begin{array}{cccc}x& 2& 3& 6\\ y& 3& 2& 1\end{array}}$

${\mathrm{2)\; x}}^2-1$ — уравнение параболы:

$x_0=0$ и $y_0=-1$;

$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -2& -1& 1& 2\\ y& 3& 0& 0& 3\end{array}}$

$\mathrm{3)\; y}=-\frac{6}{x}$ — уравнение гиперболы:

$\overline{)\begin{array}{cccc}x& -6& -3& -2\\ y& 1& 2& 3\end{array}}$

График искомой функции:

Положительные значения при: $x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (1;+\mathrm{\infty })$;

Отрицательные значения при: $x\in (-1;1)$;

б) $y=\{\begin{array}{ll}4-2x,& \text{если }x>1;\\ x^2+1,& \text{если }\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le 1;\\ 4+2x,& \text{если }x<-1;\end{array}$

$\mathrm{1)\; y}=4-2x$ — уравнение прямой:

$\overline{)\begin{array}{ccc}x& 1& 2\\ y& 2& 0\end{array}}$

${\mathrm{2)\; x}}^2+1$ — уравнение параболы:

$x_0=0$ и $y_0=1$;

$\overline{)\begin{array}{ccc}x& -1& 1\\ y& 2& 2\end{array}}$

$\mathrm{3)\; y}=4+2x$ — уравнение прямой:

$\overline{)\begin{array}{ccc}x& -2& -1\\ y& 0& 2\end{array}}$

График искомой функции:

Положительные значения при: $x\in (-2;2)$;

Отрицательные значения при: $x\in (-\mathrm{\infty };-2)\cup (2;+\mathrm{\infty })$;

а) $y=\{\begin{array}{ll}\frac{6}{x},& \text{если }x>2;\\ x^2-1,& \text{если }\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le 2;\\ -\frac{6}{x},& \text{если }x<-2;\end{array}$

Рассмотрим каждый участок функции по отдельности.

Первый участок: $y=\frac{6}{x}$, при $x>2$

Это гипербола с разрывом в точке $x=0$, но нас интересует область $x>2$. Выберем значения $x$, большие 2, и подставим их в формулу.

При $x=2$, $y=\frac{6}{2}=3$

При $x=3$, $y=\frac{6}{3}=2$

При $x=6$, $y=\frac{6}{6}=1$

Запишем значения в таблицу:

$\overline{)\begin{array}{cccc}x& 2& 3& 6\\ y& 3& 2& 1\end{array}}$

Второй участок: $y=x^2-1$, при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le 2$, то есть $-2\le x\le 2$

Это уравнение параболы с вершиной в точке $(0,-1)$, так как $x_0=0$, $y_0=-1$. Значения найдём по таблице:

При $x=-2$, $y=(-2{)}^2-1=4-1=3$

При $x=-1$, $y=(-1{)}^2-1=1-1=0$

При $x=1$, $y=1^2-1=1-1=0$

При $x=2$, $y=4-1=3$

Таблица:

$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -2& -1& 1& 2\\ y& 3& 0& 0& 3\end{array}}$

Третий участок: $y=-\frac{6}{x}$, при $x<-2$

Это тоже гипербола, но с противоположным знаком.

При $x=-6$, $y=-\frac{6}{-6}=1$

При $x=-3$, $y=-\frac{6}{-3}=2$

При $x=-2$, $y=-\frac{6}{-2}=3$

Таблица:

$\overline{)\begin{array}{cccc}x& -6& -3& -2\\ y& 1& 2& 3\end{array}}$

Промежутки знакопостоянства функции:

Положительные значения функция принимает на тех промежутках, где значения $y>0$. По таблицам видно:

При $x<-1$:
гипербола $y=-\frac{6}{x}$ даёт положительные значения, потому что $-6$ делим на отрицательное число (отрицательное на отрицательное даёт положительное)

При $x>1$:
гипербола $y=\frac{6}{x}$ положительна, так как $x>0$

Значит:

Положительные значения при $x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (1;+\mathrm{\infty })$

Отрицательные значения при $x\in (-1;1)$, так как $x^2-1<0$ только в этом промежутке

б) $y=\{\begin{array}{ll}4-2x,& \text{если }x>1;\\ x^2+1,& \text{если }\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le 1;\\ 4+2x,& \text{если }x<-1;\end{array}$

Рассмотрим все три части функции.

Первый участок: $y=4-2x$, при $x>1$

Это линейная функция с угловым коэффициентом $-2$.
При $x=1$, $y=4-2\cdot 1=2$

При $x=2$, $y=4-2\cdot 2=0$

Таблица:

$\overline{)\begin{array}{ccc}x& 1& 2\\ y& 2& 0\end{array}}$

Второй участок: $y=x^2+1$, при $-1\le x\le 1$

Это парабола, которая принимает наименьшее значение при $x=0$:
$y=0^2+1=1$

При $x=-1$, $y=1+1=2$
При $x=1$, $y=1+1=2$

Таблица:

$\overline{)\begin{array}{ccc}x& -1& 1\\ y& 2& 2\end{array}}$

Третий участок: $y=4+2x$, при $x<-1$

Это линейная функция с угловым коэффициентом $+2$

При $x=-2$, $y=4+2\cdot (-2)=0$
При $x=-1$, $y=4+2\cdot (-1)=2$

Таблица:

$\overline{)\begin{array}{ccc}x& -2& -1\\ y& 0& 2\end{array}}$

Анализируем знаки значений:

Положительные значения:
Парабола $x^2+1>0$ всегда положительна
Также выражение $4+2x>0$ при $x>-2$, а $4-2x>0$ при $x<2$

Значит:

Положительные значения при $x\in (-2;2)$

Отрицательные значения при $x\in (-\mathrm{\infty };-2)\cup (2;+\mathrm{\infty })$