ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 330 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции и укажите промежутки возрастания и убывания функции:

а) $y=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{x},& \text{если }x\ge 2;\\ \frac{1}{2}{x}^2,& \text{если }x<2;\end{array}$

б) $y=\{\begin{array}{ll}-x^2+1,& \text{если }x\ge -2;\\ \frac{6}{x},& \text{если }x<-2.\end{array}$

а) $y=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{x},& \text{если }x\ge 2;\\ \frac{1}{2}{x}^2,& \text{если }x<2;\end{array}$

$\mathrm{1)\; y}=\frac{4}{x}$ — уравнение гиперболы:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& 2& 4& 8\\ y& 2& 1& \mathrm{0,5}\end{array}}$$

$\mathrm{2)\; y}=\frac{1}{2}{x}^2$ — уравнение параболы:

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& -4& -2& 0& 2\\ y& 8& 2& 0& 2\end{array}}$$

График искомой функции:

Функция возрастает при: $x\in [0;2]$;

Функция убывает при: $x\in (-\mathrm{\infty };0]\cup [2;+\mathrm{\infty })$;

б) $y=\{\begin{array}{ll}-x^2+1,& \text{если }x\ge -2;\\ \frac{6}{x},& \text{если }x<-2;\end{array}$

$\mathrm{1)\; y}=-x^2+1$ — уравнение параболы:

$x_0=0$ и $y_0=1$;

$$\overline{)\begin{array}{cccccc}x& -2& -1& 1& 2& 3\\ y& -3& 0& 0& -3& -8\end{array}}$$

$\mathrm{2)\; y}=\frac{6}{x}$ — уравнение гиперболы:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& -6& -3& -2\\ y& -1& -2& -3\end{array}}$$

График искомой функции:

Функция возрастает при: $x\in [-2;0]$;

Функция убывает при: $x\in (-\mathrm{\infty };-2]\cup [0;+\mathrm{\infty })$;

а) $y=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{x},& \text{если }x\ge 2;\\ \frac{1}{2}{x}^2,& \text{если }x<2;\end{array}$

первая часть: $y=\frac{4}{x}$, определена при $x>0$, на отрезке $[2;+\mathrm{\infty })$
функция убывает, так как при возрастании $x$, значение $y=\frac{4}{x}$ уменьшается
построим таблицу значений:
при $x=2$: $y=\frac{4}{2}=2$
при $x=4$: $y=\frac{4}{4}=1$
при $x=8$: $y=\frac{4}{8}=\mathrm{0,5}$

таблица:

вторая часть: $y=\frac{1}{2}{x}^2$, определена при $x<2$
это парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх
функция убывает на промежутке $(-\mathrm{\infty };0]$, возрастает на $[0;2)$
при $x=-4$: $y=\frac{1}{2}\cdot 16=8$
при $x=-2$: $y=\frac{1}{2}\cdot 4=2$
при $x=0$: $y=0$
при $x=2$: $y=\frac{1}{2}\cdot 4=2$

таблица:

в точке $x=2$ обе ветви дают $y=2$, значит график непрерывен
на промежутке $(-\mathrm{\infty };0]$ функция убывает
на промежутке $[0;2]$ функция возрастает
на промежутке $[2;+\mathrm{\infty })$ функция убывает

итог:
возрастание: $x\in [0;2]$
убывание: $x\in (-\mathrm{\infty };0]\cup [2;+\mathrm{\infty })$

б) $y=\{\begin{array}{ll}-x^2+1,& \text{если }x\ge -2;\\ \frac{6}{x},& \text{если }x<-2;\end{array}$

первая часть: $y=-x^2+1$, парабола с ветвями вниз
координаты вершины: $x=0$, $y=-0^2+1=1$
функция возрастает на $[-2;0]$, убывает на $[0;+\mathrm{\infty })$
при $x=-2$: $y=-4+1=-3$
при $x=-1$: $y=-1+1=0$
при $x=1$: $y=-1+1=0$
при $x=2$: $y=-4+1=-3$
при $x=3$: $y=-9+1=-8$

таблица:

вторая часть: $y=\frac{6}{x}$, определена при $x<-2$, гипербола
функция убывает, так как при уменьшении $x$, значение $y=\frac{6}{x}$ увеличивается по модулю и остаётся отрицательным
при $x=-6$: $y=-1$
при $x=-3$: $y=-2$
при $x=-2$: $y=-3$

таблица:

в точке $x=-2$ обе ветви дают $y=-3$, график непрерывен
на $(-\mathrm{\infty };-2]$ функция убывает
на $[-2;0]$ функция возрастает
на $[0;+\mathrm{\infty })$ функция убывает

итог:
возрастание: $x\in [-2;0]$
убывание: $x\in (-\mathrm{\infty };-2]\cup [0;+\mathrm{\infty })$