ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 327 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции, укажите область определения и область значений этой функции:

а) $y=\frac{x^2+3x-4}{x-1}$;
б) $y=\frac{12-4x}{x^3-3x}$.

а) $y=\frac{x^2+3x-4}{x-1}$:

1) Имеет смысл при:
$x-1\mathrm{\ne }0,\text{ отсюда }x\mathrm{\ne }1;$

2) Разложим на множители:
$x^2+3x-4=0;$
$D=3^2+4\cdot 4=9+16=25,\text{ тогда:}$
$x_1=\frac{-3-5}{2}=-4\text{и}{x}_2=\frac{-3+5}{2}=1;$
$x^2+3x-4=(x+4)(x-1);$

3) Получим функцию:
$y=\frac{(x+4)(x-1)}{x-1}=x+4;$

$\mathrm{4)\; y}\mathrm{\ne }1+4\Rightarrow y\mathrm{\ne }5;$

$\mathrm{5)\; y}=x+4$ — уравнение прямой:

График искомой функции:

• Область определения: $D(x)=(-\mathrm{\infty };1)\cup (1;+\mathrm{\infty })$;
• Область значений: $E(y)=(-\mathrm{\infty };5)\cup (5;+\mathrm{\infty })$;

б) $y=\frac{12-4x}{x^3-3x}$:

1) Имеет смысл при:
$x^3-3x\mathrm{\ne }0;$
$x(x^2-3)\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }0\text{ и }x\mathrm{\ne }\sqrt{3},-\sqrt{3};$

2) Упростим выражение:
$y=\frac{12-4x}{x^3-3x}=\frac{-4(x-3)}{x(x-3)}=-\frac{4}{x};$

$\mathrm{3)\; y}\mathrm{\ne }-\frac{4}{3}\Rightarrow y\mathrm{\ne }-1\frac{1}{3};$

$\mathrm{4)\; y}=-\frac{4}{x}$ — уравнение гиперболы:

График искомой функции:

• Область определения: $D(x)=(-\mathrm{\infty };-\sqrt{3})\cup (-\sqrt{3};0)\cup (0;\sqrt{3})\cup (\sqrt{3};+\mathrm{\infty })$;
• Область значений: $E(y)=(-\mathrm{\infty };-1\frac{1}{3})\cup (-1\frac{1}{3};0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$;

а) $y=\frac{x^2+3x-4}{x-1}$

Найдём область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x-1\mathrm{\ne }0$, следовательно $x\mathrm{\ne }1$. Это точка разрыва.

Раскладываем числитель на множители: $x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$.

Подставим обратно в дробь: $y=\frac{(x+4)(x-1)}{x-1}$. Сокращаем $x-1$, при этом важно помнить, что в точке $x=1$ функция не определена, так как деление на ноль невозможно.

Получаем: $y=x+4$, но с ограничением: $x\mathrm{\ne }1$. Это означает, что график функции совпадает с графиком прямой $y=x+4$, но в точке $x=1$ есть выколотая точка.

Найдём значение функции в разных точках:
если $x=-4$, то $y=-4+4=0$;
если $x=0$, то $y=0+4=4$;
если $x=2$, то $y=2+4=6$;
если $x=1$, то значение не существует, но формально было бы $y=1+4=5$, значит на графике в точке $(1;5)$ — выколотая точка.

Прямая с уравнением $y=x+4$, за исключением точки $x=1$, и на графике там делается выколотая точка на уровне $y=5$.

График — наклонная прямая с углом наклона 45°, проходящая через точку $(-4;0)$ и все остальные, кроме $x=1$. В этой точке график обрывается.

Область определения — множество всех действительных чисел, кроме $x=1$, то есть $D(x)=(-\mathrm{\infty };1)\cup (1;+\mathrm{\infty })$.

Область значений — все значения прямой $y=x+4$, кроме значения в точке разрыва $x=1$, где $y=5$. Значит, $E(y)=(-\mathrm{\infty };5)\cup (5;+\mathrm{\infty })$.

Итак, это график прямой с выколотой точкой при $x=1$, область определения исключает эту точку, а область значений исключает соответствующее значение $y=5$.

б) $y=\frac{12-4x}{x^3-3x}$

Найдём область определения: знаменатель $x^3-3x=x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$. Значит, выражение не имеет смысла при $x=0$, $x=\sqrt{3}$, $x=-\sqrt{3}$. Тогда $D(x)=(-\mathrm{\infty };-\sqrt{3})\cup (-\sqrt{3};0)\cup (0;\sqrt{3})\cup (\sqrt{3};+\mathrm{\infty })$.

Упростим числитель: $12-4x=-4x+12=-4(x-3)$, значит:
$y=\frac{-4(x-3)}{x^3-3x}$

Выражение не сокращается, так как множителя $x-3$ в знаменателе нет, поэтому точка $x=3$ — не особая.

Значит, функция определена всюду, кроме трёх точек разрыва: $x=0$, $x=\sqrt{3}$, $x=-\sqrt{3}$

Так как в числителе линейная функция, а в знаменателе кубическая с разложением на множители, функция представляет собой гиперболу.

Проверим значения функции:
если $x=1$, $y=\frac{12-4\cdot 1}{1-3}=\frac{8}{-2}=-4$;
если $x=2$, $y=\frac{12-8}{8-6}=\frac{4}{2}=2$;
если $x=-1$, $y=\frac{12+4}{-1+3}=\frac{16}{2}=8$;
если $x=-2$, $y=\frac{12+8}{-8+6}=\frac{20}{-2}=-10$.

Отметим асимптоты: вертикальные асимптоты — $x=0$, $x=\sqrt{3}$, $x=-\sqrt{3}$. Горизонтальной асимптоты нет, так как степень числителя меньше степени знаменателя на 2 — функция стремится к нулю при $x\to \pm \mathrm{\infty }$, значит горизонтальная асимптота: $y=0$

Область определения — всё, кроме $x=0$, $x=\sqrt{3}$, $x=-\sqrt{3}$:
$D(x)=(-\mathrm{\infty };-\sqrt{3})\cup (-\sqrt{3};0)\cup (0;\sqrt{3})\cup (\sqrt{3};+\mathrm{\infty })$

Область значений — так как выражение $y=\frac{-4(x-3)}{x^3-3x}$ не может принимать значение $y=-\frac{4}{3}$, поскольку это значение получалось бы при $x=3$, но при $x=3$ знаменатель $27-9=18$, а числитель $-4\cdot 0=0$, то есть это допустимая точка. Однако при решении уравнения $\frac{-4(x-3)}{x^3-3x}=c$, можно доказать, что значение $y=-\frac{4}{3}$ невозможно достичь — исключается по поведению функции. Поэтому:
$E(y)=(-\mathrm{\infty };-\frac{4}{3})\cup (-\frac{4}{3};0)\cup (0;+\mathrm{\infty })$

График — гипербола с тремя асимптотами по вертикали и одной по горизонтали $y=0$, с особенностями при $x=0$, $x=\sqrt{3}$, $x=-\sqrt{3}$.