ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 316 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите неравенство:
а) $(x^2 + 1)(x — 6)(x + 3) > 0$;
б) $(x^2 + x + 2)(x^2 — 5x + 4)(x — 2) \; ? \; 0$;
в) $(3x^2 + 1)(x^2 + x — 6) \; ? \; 0$.

Подсказка, а) При любом значении $x$ множитель $x^2 + 1$ принимает положительные значения, поэтому неравенство можно заменить равносильным более простого вида.

а) $(x^2 + 1)(x — 6)(x + 3) > 0$;

$x^2 + 1 > 0$ при любых значениях $x$;

Получим неравенство:
$(x — 6)(x + 3) > 0$;

Нули функции:
$x_1 — 6 = 0$, отсюда $x_1 = 6$;
$x_2 + 3 = 0$, отсюда $x_2 = -3$;

Значения на интервалах:

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (6; +\infty)$.

б) $(x^2 + x + 2)(x^2 — 5x + 4)(x — 2) \le 0$;

$x^2 + x + 2$;
$a = 1 > 0$, значит ветви направлены вверх;
$D = 1^2 — 4 \cdot 2 = 1 — 8 = -7$;
$D < 0$, значит корней нет;
$x^2 + x + 2 > 0$ при любых значениях $x$;

Разложим на множители:
$x^2 — 5x + 4 = 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$, тогда:
$x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$;
$x^2 — 5x + 4 = (x — 1)(x — 4)$;

Получим неравенство:
$(x — 1)(x — 4)(x — 2) \le 0$;

Нули функции:
$x_1 — 1 = 0$, отсюда $x_1 = 1$;
$x_2 — 4 = 0$, отсюда $x_2 = 4$;
$x_3 — 2 = 0$, отсюда $x_3 = 2$;

Значения на интервалах:

Ответ: $(-\infty; 1] \cup [2; 4]$.

в) $(3x^2 + 1)(x^2 + x — 6) \ge 0$;

$3x^2 + 1 > 0$ при любых значениях $x$;

Разложим на множители:
$x^2 + x — 6 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$;
$x^2 + x — 6 = (x + 3)(x — 2)$;

Получим неравенство:
$(x + 3)(x — 2) \ge 0$;

Нули функции:
$x_1 + 3 = 0$, отсюда $x_1 = -3$;
$x_2 — 2 = 0$, отсюда $x_2 = 2$;

Значения на интервалах:

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [2; +\infty)$.

а) Начальное неравенство: $(x^2 + 1)(x — 6)(x + 3) > 0$. Здесь произведение трёх множителей. Первый множитель $x^2 + 1$ всегда положителен, так как квадрат любого числа $x^2 \geq 0$, а добавление единицы делает выражение строго больше нуля: $x^2 + 1 > 0$ при любых значениях $x$. Следовательно, данный множитель не влияет на знак всего произведения. Остаётся исследовать более простое неравенство: $(x — 6)(x + 3) > 0$.

Теперь находим нули функции.

$x — 6 = 0 \Rightarrow x = 6$.

$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

Эти корни делят ось на три промежутка: $(-\infty; -3)$, $(-3; 6)$, $(6; +\infty)$.

Проверим знак на каждом интервале:

Для $(-\infty; -3)$: берём $x = -4$. Подставляем: $(-4 — 6)(-4 + 3) = (-10)(-1) = 10 > 0$. Знак положительный, условие выполняется.

Для $(-3; 6)$: берём $x = 0$. Подставляем: $(0 — 6)(0 + 3) = (-6)(3) = -18 < 0$. Знак отрицательный, условие не выполняется.

Для $(6; +\infty)$: берём $x = 7$. Подставляем: $(7 — 6)(7 + 3) = (1)(10) = 10 > 0$. Знак положительный, условие выполняется.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (6; +\infty)$.

б) Начальное неравенство: $(x^2 + x + 2)(x^2 — 5x + 4)(x — 2) \leq 0$. Здесь три множителя.

Рассмотрим первый множитель $x^2 + x + 2$. Это квадратный трёхчлен. Коэффициент $a = 1 > 0$, значит ветви параболы направлены вверх. Дискриминант: $D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 — 8 = -7 < 0$. Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, и парабола не пересекает ось $Ox$. Следовательно, выражение $x^2 + x + 2 > 0$ при любых значениях $x$. Этот множитель всегда положительный и на знак всего произведения не влияет.

Рассмотрим второй множитель $x^2 — 5x + 4$. Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$. Корни: $x = \frac{5 — 3}{2} = 1$, $x = \frac{5 + 3}{2} = 4$. Разложение: $x^2 — 5x + 4 = (x — 1)(x — 4)$.

Теперь всё неравенство примет вид: $(x — 1)(x — 4)(x — 2) \leq 0$.

Находим нули:
$x = 1$, $x = 4$, $x = 2$.

Критические точки: $1, 2, 4$. Они делят ось на интервалы: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определяем знак:

Для $(-\infty; 1)$: берём $x = 0$. Подставляем: $(0 — 1)(0 — 4)(0 — 2) = (-1)(-4)(-2) = -8 < 0$. Условие выполняется.

Для $(1; 2)$: берём $x = 1,5$. Подставляем: $(0,5)(-2,5)(-0,5) = 0,625 > 0$. Условие не выполняется.

Для $(2; 4)$: берём $x = 3$. Подставляем: $(2)(-1)(1) = -2 < 0$. Условие выполняется.

Для $(4; +\infty)$: берём $x = 5$. Подставляем: $(4)(1)(3) = 12 > 0$. Условие не выполняется.

Так как знак $\leq 0$, включаем корни $x = 1, 2, 4$.

Ответ: $(-\infty; 1] \cup [2; 4]$.

в) Начальное неравенство: $(3x^2 + 1)(x^2 + x — 6) \geq 0$.

Рассмотрим первый множитель $3x^2 + 1$. Это парабола, коэффициент $a = 3 > 0$. Дискриминант: $D = 0^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = -12 < 0$. Корней нет. Так как при $x = 0$ значение $3 \cdot 0^2 + 1 = 1 > 0$, выражение всегда положительно. Следовательно, этот множитель на знак не влияет.

Рассмотрим второй множитель $x^2 + x — 6$. Вычислим дискриминант: $D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$. Корни: $x = \frac{-1 — 5}{2} = -3$, $x = \frac{-1 + 5}{2} = 2$. Разложение: $x^2 + x — 6 = (x + 3)(x — 2)$.

Тогда неравенство примет вид: $(x + 3)(x — 2) \geq 0$.

Нули: $x = -3, x = 2$. Эти точки делят ось на три промежутка: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$, $(2; +\infty)$.

Проверим знак:

Для $(-\infty; -3)$: берём $x = -4$. Подставляем: $(-4 + 3)(-4 — 2) = (-1)(-6) = 6 > 0$. Условие выполняется.

Для $(-3; 2)$: берём $x = 0$. Подставляем: $(0 + 3)(0 — 2) = (3)(-2) = -6 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(2; +\infty)$: берём $x = 3$. Подставляем: $(3 + 3)(3 — 2) = (6)(1) = 6 > 0$. Условие выполняется.

Так как знак $\geq 0$, включаем точки $x = -3, x = 2$.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [2; +\infty)$.