ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 315 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства, разложив его левую часть на множители:
а) $x^3 — 0,25x < 0$;
б) $x^3 + 2x^2 — x — 2 < 0$;
в) $x^3 — x^2 — 9x + 9 \; ? \; 0$;
г) $(1 — x)(x^2 + x — 6)(x + 6) \; ? \; 0$.

а) $x^3 — 0,25x < 0$;
$x(x^2 — 0,25) < 0$;
$x(x — 0,5)(x + 0,5) < 0$;

Нули функции:
$x_1 = 0$;
$x_2 — 0,5 = 0$, отсюда $x_2 = 0,5$;
$x_3 + 0,5 = 0$, отсюда $x_3 = -0,5$;

Значения на интервалах:

Ответ: $(-\infty; -0,5) \cup (0; 0,5)$.

б) $x^3 + 2x^2 — x — 2 < 0$;
$(x^3 + 2x^2) — (x + 2) < 0$;
$x^2(x + 2) — (x + 2) < 0$;
$(x^2 — 1)(x + 2) < 0$;
$(x — 1)(x + 1)(x + 2) < 0$;

Нули функции:
$x_1 — 1 = 0$, отсюда $x_1 = 1$;
$x_2 + 1 = 0$, отсюда $x_2 = -1$;
$x_3 + 2 = 0$, отсюда $x_3 = -2$;

Значения на интервалах:

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-1; 1)$.

в) $x^3 — x^2 — 9x + 9 \ge 0$;
$(x^3 — x^2) — 9(x — 1) \ge 0$;
$x^2(x — 1) — 9(x — 1) \ge 0$;
$(x^2 — 9)(x — 1) \ge 0$;
$(x — 3)(x + 3)(x — 1) \ge 0$;

Нули функции:
$x_1 — 3 = 0$, отсюда $x_1 = 3$;
$x_2 + 3 = 0$, отсюда $x_2 = -3$;
$x_3 — 1 = 0$, отсюда $x_3 = 1$;

Значения на интервалах:

Ответ: $[-3; 1] \cup [3; +\infty)$.

г) $(1 — x)(x^2 + x — 6)(x + 6) \le 0$;

Разложим на множители:
$x^2 + x — 6 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$;
$x^2 + x — 6 = (x + 3)(x — 2)$;

Получим неравенство:
$(1 — x)(x + 3)(x — 2)(x + 6) \le 0$;
$-(x — 1)(x + 3)(x — 2)(x + 6) \le 0 \; | \cdot (-1)$;
$(x — 1)(x + 3)(x — 2)(x + 6) \ge 0$;

Нули функции:
$x_1 — 1 = 0$, отсюда $x_1 = 1$;
$x_2 + 3 = 0$, отсюда $x_2 = -3$;
$x_3 — 2 = 0$, отсюда $x_3 = 2$;
$x_4 + 6 = 0$, отсюда $x_4 = -6$;

Значения на интервалах:

Ответ: $(-\infty; -6] \cup [-3; 1] \cup [2; +\infty)$.

а) Начальное неравенство: $x^3 — 0,25x < 0$. Здесь левая часть является многочленом третьей степени. Вынесем общий множитель $x$: $x(x^2 — 0,25) < 0$. Теперь получаем произведение трёх множителей. Заметим, что $x^2 — 0,25$ представляет собой разность квадратов: $x^2 — (0,5)^2$. Применим формулу разности квадратов: $(a^2 — b^2) = (a — b)(a + b)$. В нашем случае: $x^2 — 0,25 = (x — 0,5)(x + 0,5)$. Тогда всё выражение примет вид: $x(x — 0,5)(x + 0,5) < 0$.

Находим нули функции, приравняв каждый множитель к нулю:

$x = 0$.

$x — 0,5 = 0 \Rightarrow x = 0,5$.

$x + 0,5 = 0 \Rightarrow x = -0,5$.

Критические точки: $-0,5, 0, 0,5$. Эти значения делят ось на четыре промежутка: $(-\infty; -0,5)$, $(-0,5; 0)$, $(0; 0,5)$, $(0,5; +\infty)$.

Определяем знак выражения на каждом интервале:

Для $(-\infty; -0,5)$: берём $x = -1$. Подставляем: $(-1)(-1 — 0,5)(-1 + 0,5) = (-1)(-1,5)(-0,5) = -0,75 < 0$. Условие выполняется.

Для $(-0,5; 0)$: берём $x = -0,25$. Подставляем: $(-0,25)(-0,25 — 0,5)(-0,25 + 0,5) = (-0,25)(-0,75)(0,25) = 0,0469 > 0$. Условие не выполняется.

Для $(0; 0,5)$: берём $x = 0,25$. Подставляем: $(0,25)(0,25 — 0,5)(0,25 + 0,5) = (0,25)(-0,25)(0,75) = -0,0469 < 0$. Условие выполняется.

Для $(0,5; +\infty)$: берём $x = 1$. Подставляем: $(1)(1 — 0,5)(1 + 0,5) = (1)(0,5)(1,5) = 0,75 > 0$. Условие не выполняется.

Ответ: $(-\infty; -0,5) \cup (0; 0,5)$.

б) Начальное неравенство: $x^3 + 2x^2 — x — 2 < 0$. Группируем члены: $(x^3 + 2x^2) — (x + 2) < 0$. Вынесем за скобки общий множитель в каждом блоке: $x^2(x + 2) — 1(x + 2) < 0$. Теперь видим общий множитель $x + 2$. Вынесем его: $(x^2 — 1)(x + 2) < 0$. Заметим, что $x^2 — 1$ — это разность квадратов: $(x — 1)(x + 1)$. Тогда получаем: $(x — 1)(x + 1)(x + 2) < 0$.

Находим нули функции:

$x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

Критические точки: $-2, -1, 1$. Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$.

Определяем знак:

Для $(-\infty; -2)$: берём $x = -3$. Подставляем: $(-3 — 1)(-3 + 1)(-3 + 2) = (-4)(-2)(-1) = -8 < 0$. Условие выполняется.

Для $(-2; -1)$: берём $x = -1,5$. Подставляем: $(-1,5 — 1)(-1,5 + 1)(-1,5 + 2) = (-2,5)(-0,5)(0,5) = 0,625 > 0$. Условие не выполняется.

Для $(-1; 1)$: берём $x = 0$. Подставляем: $(0 — 1)(0 + 1)(0 + 2) = (-1)(1)(2) = -2 < 0$. Условие выполняется.

Для $(1; +\infty)$: берём $x = 2$. Подставляем: $(2 — 1)(2 + 1)(2 + 2) = (1)(3)(4) = 12 > 0$. Условие не выполняется.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-1; 1)$.

в) Начальное неравенство: $x^3 — x^2 — 9x + 9 \ge 0$. Группируем: $(x^3 — x^2) — (9x — 9) \ge 0$. Вынесем за скобку: $x^2(x — 1) — 9(x — 1) \ge 0$. Вынесем общий множитель $x — 1$: $(x^2 — 9)(x — 1) \ge 0$. Заметим, что $x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)$. Тогда получаем: $(x — 3)(x + 3)(x — 1) \ge 0$.

Нули функции:

$x — 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

$x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Критические точки: $-3, 1, 3$. Интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$, $(1; 3)$, $(3; +\infty)$.

Определяем знак:

Для $(-\infty; -3)$: берём $x = -4$. Подставляем: $(-4 — 3)(-4 + 3)(-4 — 1) = (-7)(-1)(-5) = -35 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(-3; 1)$: берём $x = 0$. Подставляем: $(0 — 3)(0 + 3)(0 — 1) = (-3)(3)(-1) = 9 > 0$. Условие выполняется.

Для $(1; 3)$: берём $x = 2$. Подставляем: $(2 — 3)(2 + 3)(2 — 1) = (-1)(5)(1) = -5 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(3; +\infty)$: берём $x = 4$. Подставляем: $(4 — 3)(4 + 3)(4 — 1) = (1)(7)(3) = 21 > 0$. Условие выполняется.

Так как знак $\ge 0$, включаем корни $-3, 1, 3$.

Ответ: $[-3; 1] \cup [3; +\infty)$.

г) Начальное неравенство: $(1 — x)(x^2 + x — 6)(x + 6) \le 0$. Сначала разложим квадратный трёхчлен на множители: решим уравнение $x^2 + x — 6 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$. Корни: $x = \frac{-1 — 5}{2} = -3$, $x = \frac{-1 + 5}{2} = 2$. Следовательно, $x^2 + x — 6 = (x + 3)(x — 2)$.

Подставляем: $(1 — x)(x + 3)(x — 2)(x + 6) \le 0$. Перепишем первый множитель: $1 — x = -(x — 1)$. Тогда: $-(x — 1)(x + 3)(x — 2)(x + 6) \le 0$. Умножим обе части на $-1$, меняем знак: $(x — 1)(x + 3)(x — 2)(x + 6) \ge 0$.

Нули функции:

$x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

$x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

$x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$.

Критические точки: $-6, -3, 1, 2$. Интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; -3)$, $(-3; 1)$, $(1; 2)$, $(2; +\infty)$.

Определяем знак:

Для $(-\infty; -6)$: берём $x = -7$. Подставляем: $(-7 — 1)(-7 + 3)(-7 — 2)(-7 + 6) = (-8)(-4)(-9)(-1) = -288 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(-6; -3)$: берём $x = -4$. Подставляем: $(-4 — 1)(-4 + 3)(-4 — 2)(-4 + 6) = (-5)(-1)(-6)(2) = -60 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(-3; 1)$: берём $x = 0$. Подставляем: $(0 — 1)(0 + 3)(0 — 2)(0 + 6) = (-1)(3)(-2)(6) = 36 > 0$. Условие выполняется.

Для $(1; 2)$: берём $x = 1,5$. Подставляем: $(1,5 — 1)(1,5 + 3)(1,5 — 2)(1,5 + 6) = (0,5)(4,5)(-0,5)(7,5) = -8,44 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(2; +\infty)$: берём $x = 3$. Подставляем: $(3 — 1)(3 + 3)(3 — 2)(3 + 6) = (2)(6)(1)(9) = 108 > 0$. Условие выполняется.

Так как знак $\ge 0$, включаем нули $-3, -6, 1, 2$.

Ответ: $(-\infty; -6] \cup [-3; 1] \cup [2; +\infty)$.