ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 314 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите неравенство:
а) $x(x — 7)(2 — x) < 0$;
б) $(x + 5)(3 — x)(x — 1) > 0$;
в) $-x(x + 1)(4 — x)(6 — x) < 0$;
г) $x(1 — x)(5 + x)(3 — x) > 0$.

Подсказка, а) Вынесите во втором двучлене за скобки множитель $-1$ и умножьте обе части неравенства на $-1$:
$-x(x — 7)(x — 2) < 0$; $x(x — 7)(x — 2) > 0$.

а) $x(x — 7)(2 — x) < 0$;
$-x(x — 7)(x — 2) < 0 \; | \cdot (-1)$;
$x(x — 7)(x — 2) > 0$;

1) Нули функции:
$x_1 = 0$;
$x_2 — 7 = 0$, отсюда $x_2 = 7$;
$x_3 — 2 = 0$, отсюда $x_3 = 2$;

2) Значения на интервалах:

Ответ: $(0; 2) \cup (7; +\infty)$.

б) $(x + 5)(3 — x)(x — 1) > 0$;
$-(x + 5)(x — 3)(x — 1) > 0 \; | \cdot (-1)$;
$(x + 5)(x — 3)(x — 1) < 0$;

1) Нули функции:
$x_1 + 5 = 0$, отсюда $x_1 = -5$;
$x_2 — 3 = 0$, отсюда $x_2 = 3$;
$x_3 — 1 = 0$, отсюда $x_3 = 1$;

2) Значения на интервалах:

Ответ: $(-\infty; -5) \cup (1; 3)$.

в) $-x(x + 1)(4 — x)(6 — x) < 0$;
$-x(x + 1)(x — 4)(x — 6) < 0 \; | \cdot (-1)$;
$x(x + 1)(x — 4)(x — 6) > 0$;

1) Нули функции:
$x_1 = 0$;
$x_2 + 1 = 0$, отсюда $x_2 = -1$;
$x_3 — 4 = 0$, отсюда $x_3 = 4$;
$x_4 — 6 = 0$, отсюда $x_4 = 6$;

2) Значения на интервалах:

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (0; 4) \cup (6; +\infty)$.

г) $x(1 — x)(5 + x)(3 — x) > 0$;
$x(x — 1)(x + 5)(x — 3) > 0$;

1) Нули функции:
$x_1 = 0$;
$x_2 — 1 = 0$, отсюда $x_2 = 1$;
$x_3 + 5 = 0$, отсюда $x_3 = -5$;
$x_4 — 3 = 0$, отсюда $x_4 = 3$;

2) Значения на интервалах:

Ответ: $(-\infty; -5) \cup (0; 1) \cup (3; +\infty)$.

а) Начальное неравенство: $x(x — 7)(2 — x) < 0$. Здесь три множителя: первый $x$, второй $x — 7$, третий $2 — x$. Заметим, что в третьем множителе коэффициент при $x$ равен $-1$. Вынесем $-1$ за скобки: $x(x — 7)(-(x — 2)) < 0$. Тогда выражение примет вид: $-x(x — 7)(x — 2) < 0$. Теперь умножим обе части неравенства на $-1$. Так как множитель отрицательный, знак неравенства изменится на противоположный. Получаем: $x(x — 7)(x — 2) > 0$.

Находим нули функции, приравняв каждый множитель к нулю:

$x = 0$.

$x — 7 = 0 \Rightarrow x = 7$.

$x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Таким образом, критические точки: $0, 2, 7$. Эти значения делят числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; 7)$, $(7; +\infty)$.

Определяем знак на каждом промежутке:

Для $(-\infty; 0)$: берём $x = -1$. Подставляем: $(-1)(-1-7)(-1-2) = (-1)(-8)(-3) = -24 < 0$. Знак отрицательный, условие $>0$ не выполняется.

Для $(0; 2)$: берём $x = 1$. Подставляем: $(1)(1-7)(1-2) = (1)(-6)(-1) = 6 > 0$. Условие выполняется.

Для $(2; 7)$: берём $x = 3$. Подставляем: $(3)(3-7)(3-2) = (3)(-4)(1) = -12 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(7; +\infty)$: берём $x = 8$. Подставляем: $(8)(8-7)(8-2) = (8)(1)(6) = 48 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $(0; 2) \cup (7; +\infty)$.

б) Начальное неравенство: $(x + 5)(3 — x)(x — 1) > 0$. Здесь множитель $3 — x$ имеет коэффициент при $x$, равный $-1$. Вынесем $-1$ за скобку: $(x + 5)(-(x — 3))(x — 1) > 0$. Получаем: $-(x + 5)(x — 3)(x — 1) > 0$. Теперь умножим обе части на $-1$, меняем знак неравенства: $(x + 5)(x — 3)(x — 1) < 0$.

Находим нули функции:

$x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$.

$x — 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

$x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Критические точки: $-5, 1, 3$. Эти значения делят числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; -5)$, $(-5; 1)$, $(1; 3)$, $(3; +\infty)$.

Определяем знак на каждом промежутке:

Для $(-\infty; -5)$: берём $x = -6$. Подставляем: $(-6+5)(-6-3)(-6-1) = (-1)(-9)(-7) = -63 < 0$. Условие выполняется.

Для $(-5; 1)$: берём $x = 0$. Подставляем: $(0+5)(0-3)(0-1) = (5)(-3)(-1) = 15 > 0$. Условие не выполняется.

Для $(1; 3)$: берём $x = 2$. Подставляем: $(2+5)(2-3)(2-1) = (7)(-1)(1) = -7 < 0$. Условие выполняется.

Для $(3; +\infty)$: берём $x = 4$. Подставляем: $(4+5)(4-3)(4-1) = (9)(1)(3) = 27 > 0$. Условие не выполняется.

Ответ: $(-\infty; -5) \cup (1; 3)$.

в) Начальное неравенство: $-x(x + 1)(4 — x)(6 — x) < 0$. Здесь множители $4 — x$ и $6 — x$ содержат коэффициент $-1$ при $x$. Перепишем: $-x(x + 1)(-(x — 4))(-(x — 6)) < 0$. Минусы в произведении дают положительный результат, всего два знака «минус», значит остаётся: $-x(x + 1)(x — 4)(x — 6) < 0$. Теперь вынесем общий «минус»: получаем $-1 \cdot x(x + 1)(x — 4)(x — 6) < 0$. Умножаем обе части на $-1$, меняем знак: $x(x + 1)(x — 4)(x — 6) > 0$.

Находим нули функции:

$x = 0$.

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

$x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

$x — 6 = 0 \Rightarrow x = 6$.

Критические точки: $-1, 0, 4, 6$. Эти значения делят ось на пять промежутков: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 4)$, $(4; 6)$, $(6; +\infty)$.

Определяем знак на каждом промежутке:

Для $(-\infty; -1)$: берём $x = -2$. Подставляем: $(-2)(-1)(-6)(-8) = 96 > 0$. Условие выполняется.

Для $(-1; 0)$: берём $x = -0,5$. Подставляем: $(-0,5)(0,5)(-4,5)(-6,5) = -7,34 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(0; 4)$: берём $x = 2$. Подставляем: $(2)(3)(-2)(-4) = 48 > 0$. Условие выполняется.

Для $(4; 6)$: берём $x = 5$. Подставляем: $(5)(6)(1)(-1) = -30 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(6; +\infty)$: берём $x = 7$. Подставляем: $(7)(8)(3)(1) = 168 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (0; 4) \cup (6; +\infty)$.

г) Начальное неравенство: $x(1 — x)(5 + x)(3 — x) > 0$. Преобразуем множители $1 — x$ и $3 — x$: $(1 — x) = -(x — 1)$, $(3 — x) = -(x — 3)$. Подставим: $x(-(x — 1))(x + 5)(-(x — 3)) > 0$. Здесь два множителя со знаком «минус», их произведение положительно. Получаем: $x(x — 1)(x + 5)(x — 3) > 0$.

Находим нули функции:

$x = 0$.

$x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

$x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$.

$x — 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Критические точки: $-5, 0, 1, 3$. Эти значения делят ось на пять промежутков: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 3)$, $(3; +\infty)$.

Определяем знак на каждом промежутке:

Для $(-\infty; -5)$: берём $x = -6$. Подставляем: $(-6)(-7)(-1)(-9) = -378 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(-5; 0)$: берём $x = -1$. Подставляем: $(-1)(-2)(4)(-4) = -32 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(0; 1)$: берём $x = 0,5$. Подставляем: $(0,5)(-0,5)(5,5)(-2,5) = 3,44 > 0$. Условие выполняется.

Для $(1; 3)$: берём $x = 2$. Подставляем: $(2)(1)(7)(-1) = -14 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(3; +\infty)$: берём $x = 4$. Подставляем: $(4)(3)(9)(1) = 108 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $(0; 1) \cup (3; +\infty)$.