ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 313 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:
а) $-(x — 2)(x + 3)(x + 1) > 0$;
б) $-(x + 2)(x — 1)(x — 5) < 0$;
в) $-x(x + 1)(x — 6) ? 0$;
г) $-(x — 3)(5x — 2)(x + 1) ? 0$.

Подсказка, а) Умножьте обе части неравенства на $-1$, заменив при этом знак неравенства на противоположный: $(x — 2)(x + 3)(x + 1) < 0$.

а) $-(x — 2)(x + 3)(x + 1) > 0 \; | \cdot (-1)$;
$(x — 2)(x + 3)(x + 1) < 0$;

1) Нули функции:
$x_1 — 2 = 0$, отсюда $x_1 = 2$;
$x_2 + 3 = 0$, отсюда $x_2 = -3$;
$x_3 + 1 = 0$, отсюда $x_3 = -1$;

2) Значения на интервалах:

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (-1; 2)$.

б) $-(x + 2)(x — 1)(x — 5) < 0 \; | \cdot (-1)$;
$(x + 2)(x — 1)(x — 5) > 0$;

1) Нули функции:
$x_1 + 2 = 0$, отсюда $x_1 = -2$;
$x_2 — 1 = 0$, отсюда $x_2 = 1$;
$x_3 — 5 = 0$, отсюда $x_3 = 5$;

2) Значения на интервалах:

Ответ: $(-2; 1) \cup (5; +\infty)$.

в) $-x(x + 1)(x — 6) \le 0 \; | \cdot (-1)$;
$x(x + 1)(x — 6) \ge 0$;

1) Нули функции:
$x_1 = 0$;
$x_2 + 1 = 0$, отсюда $x_2 = -1$;
$x_3 — 6 = 0$, отсюда $x_3 = 6$;

2) Значения на интервалах:

Ответ: $[-1; 0] \cup [6; +\infty)$.

г) $-(x — 3)(5x — 2)(x + 1) \ge 0 \; | \cdot (-5)$;
$-5(x — 3)(x — 0,4)(x + 1) \ge 0 \; | \cdot (-5)$;
$(x — 3)(x — 0,4)(x + 1) \le 0$;

1) Нули функции:
$x_1 — 3 = 0$, отсюда $x_1 = 3$;
$x_2 — 0,4 = 0$, отсюда $x_2 = 0,4$;
$x_3 + 1 = 0$, отсюда $x_3 = -1$;

2) Значения на интервалах:

Ответ: $(-\infty; -1] \cup [0,4; 3]$.

а) Начальное неравенство: $-(x — 2)(x + 3)(x + 1) > 0$. Перед выражением стоит знак «минус», поэтому произведение всех множителей берётся с отрицательным коэффициентом. Чтобы упростить задачу, умножаем обе части неравенства на $-1$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный. Получаем равносильное неравенство: $(x — 2)(x + 3)(x + 1) < 0$.

Находим нули функции, приравняв каждый множитель к нулю:

$x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Критические точки: $-3, -1, 2$. Эти точки делят числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; +\infty)$.

Проверяем знак выражения на каждом интервале:

На интервале $(-\infty; -3)$: возьмём $x = -4$. Подставляем: $(-4 — 2)(-4 + 3)(-4 + 1) = (-6)(-1)(-3) = -18 < 0$. Условие выполняется.

На интервале $(-3; -1)$: возьмём $x = -2$. Подставляем: $(-2 — 2)(-2 + 3)(-2 + 1) = (-4)(1)(-1) = 4 > 0$. Условие не выполняется.

На интервале $(-1; 2)$: возьмём $x = 0$. Подставляем: $(0 — 2)(0 + 3)(0 + 1) = (-2)(3)(1) = -6 < 0$. Условие выполняется.

На интервале $(2; +\infty)$: возьмём $x = 3$. Подставляем: $(3 — 2)(3 + 3)(3 + 1) = (1)(6)(4) = 24 > 0$. Условие не выполняется.

Таким образом, решение: $(-\infty; -3) \cup (-1; 2)$.

б) Начальное неравенство: $-(x + 2)(x — 1)(x — 5) < 0$. Перед выражением знак «минус», поэтому умножаем обе части неравенства на $-1$, меняя знак на противоположный. Получаем: $(x + 2)(x — 1)(x — 5) > 0$.

Находим нули функции:

$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

$x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

$x — 5 = 0 \Rightarrow x = 5$.

Критические точки: $-2, 1, 5$. Они делят ось на четыре промежутка: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$, $(1; 5)$, $(5; +\infty)$.

Проверим знак на каждом интервале:

Для $(-\infty; -2)$: берём $x = -3$. Подставляем: $(-3+2)(-3-1)(-3-5) = (-1)(-4)(-8) = -32 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(-2; 1)$: берём $x = 0$. Подставляем: $(0+2)(0-1)(0-5) = (2)(-1)(-5) = 10 > 0$. Условие выполняется.

Для $(1; 5)$: берём $x = 2$. Подставляем: $(2+2)(2-1)(2-5) = (4)(1)(-3) = -12 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(5; +\infty)$: берём $x = 6$. Подставляем: $(6+2)(6-1)(6-5) = (8)(5)(1) = 40 > 0$. Условие выполняется.

Итог: $(-2; 1) \cup (5; +\infty)$.

в) Начальное неравенство: $-x(x + 1)(x — 6) \leq 0$. Перед выражением знак «минус», поэтому умножаем обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства меняется на противоположный: $x(x + 1)(x — 6) \geq 0$.

Нули функции:

$x = 0$.

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

$x — 6 = 0 \Rightarrow x = 6$.

Критические точки: $-1, 0, 6$. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 6)$, $(6; +\infty)$.

Определяем знак:

Для $(-\infty; -1)$: берём $x = -2$. Подставляем: $(-2)(-2+1)(-2-6) = (-2)(-1)(-8) = -16 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(-1; 0)$: берём $x = -0,5$. Подставляем: $(-0,5)(-0,5+1)(-0,5-6) = (-0,5)(0,5)(-6,5) = 1,625 > 0$. Условие выполняется.

Для $(0; 6)$: берём $x = 2$. Подставляем: $(2)(2+1)(2-6) = (2)(3)(-4) = -24 < 0$. Условие не выполняется.

Для $(6; +\infty)$: берём $x = 7$. Подставляем: $(7)(7+1)(7-6) = (7)(8)(1) = 56 > 0$. Условие выполняется.

Так как знак $\geq 0$, включаем нули $-1, 0, 6$. Итог: $[-1; 0] \cup [6; +\infty)$.

г) Начальное неравенство: $-(x — 3)(5x — 2)(x + 1) \geq 0$. Чтобы коэффициент при $x$ в линейном множителе был равен 1, раскроем множитель $5x — 2$: вынесем 5 за скобку: $-(x — 3) \cdot 5(x — 0,4)(x + 1) \geq 0$. Упрощаем: $-5(x — 3)(x — 0,4)(x + 1) \geq 0$. Теперь делим обе части на отрицательное число $-5$. При этом знак неравенства меняется: $(x — 3)(x — 0,4)(x + 1) \leq 0$.

Находим нули функции:

$x — 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

$x — 0,4 = 0 \Rightarrow x = 0,4$.

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Критические точки: $-1, 0,4, 3$. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0,4)$, $(0,4; 3)$, $(3; +\infty)$.

Определяем знак:

Для $(-\infty; -1)$: берём $x = -2$. Подставляем: $(-2-3)(-2-0,4)(-2+1) = (-5)(-2,4)(-1) = -12 < 0$. Условие выполняется.

Для $(-1; 0,4)$: берём $x = 0$. Подставляем: $(0-3)(0-0,4)(0+1) = (-3)(-0,4)(1) = 1,2 > 0$. Условие не выполняется.

Для $(0,4; 3)$: берём $x = 1$. Подставляем: $(1-3)(1-0,4)(1+1) = (-2)(0,6)(2) = -2,4 < 0$. Условие выполняется.

Для $(3; +\infty)$: берём $x = 4$. Подставляем: $(4-3)(4-0,4)(4+1) = (1)(3,6)(5) = 18 > 0$. Условие не выполняется.

Так как знак $\leq 0$, включаем нули функции: $-1, 0,4, 3$.

Итог: $(-\infty; -1] \cup [0,4; 3]$.