ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 180 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $x^2=8$;
б) $x^2-5=11$;
в) $x^4-6x+9=0$;
г) $x^3-2x=0$.

Какое из уравнений имеет как рациональные, так и иррациональные корни?

а)

$$x^2=8;$$

$$$$$$x=\pm \sqrt{8};$$

Ответ: $\pm \sqrt{8}$ — иррациональные корни.

б)

$$x^2-5=11;$$

$$$$$$x^2=11+5;$$

$$$$$$x^2=16;$$

$$$$$$x=\pm \sqrt{16}=\pm 4;$$

Ответ: $\pm 4$ — рациональные корни.

в)

$$x^4-6x^2+9=0;$$

$$$$$$(x^2-3{)}^2=0;$$

$$$$$$x^2-3=0;$$

$$$$$$x^2=3;$$

$$$$$$x=\pm \sqrt{3};$$

Ответ: $\pm \sqrt{3}$ — иррациональные корни.

г)

$$x^3-2x=0;$$

$$$$$$x(x^2-2)=0;$$

$$$$$$x_1=0;$$

$$$$$$x_2^2-2=0;$$

$$$$$$x_2^2=2;$$

$$$$$$x_2=\pm \sqrt{2};$$

Ответ: $0$ и $\pm \sqrt{2}$ — рациональный и иррациональные корни.

а)
Рассмотрим уравнение $x^2=8$. Для нахождения корней этого уравнения извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$x=\pm \sqrt{8}\mathrm{.}$$

Так как $\sqrt{8}$ не является целым числом, это выражение представляет собой иррациональное число. Мы можем упростить $\sqrt{8}$ как $\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$, но даже в таком виде $2\sqrt{2}$ остаётся иррациональным. Таким образом, корни уравнения $x=\pm \sqrt{8}$ — иррациональные.

Ответ: $\pm \sqrt{8}$ — иррациональные корни.

б)
Теперь рассмотрим уравнение $x^2-5=11$. Для нахождения корней этого уравнения сначала переносим число 5 на правую сторону:

$$x^2=11+5=16.$$

Затем извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$x=\pm \sqrt{16}\mathrm{.}$$

Так как $\sqrt{16}=4$, это значение является рациональным. Следовательно, корни уравнения $x=\pm 4$ — рациональные.

Ответ: $\pm 4$ — рациональные корни.

в)
Рассмотрим уравнение $x^4-6x^2+9=0$. Для упрощения, заметим, что это уравнение можно преобразовать в квадратное относительно $x^2$:

$$(x^2-3{)}^2=0.$$

Теперь, извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$$x^2-3=0.$$

Решаем это уравнение:

$$x^2=3.$$

Извлекаем квадратный корень:

$$x=\pm \sqrt{3}\mathrm{.}$$

Так как $\sqrt{3}$ является иррациональным числом, корни уравнения $x=\pm \sqrt{3}$ также будут иррациональными.

Ответ: $\pm \sqrt{3}$ — иррациональные корни.

г)
Рассмотрим уравнение $x^3-2x=0$. Начнём с того, что вынесем общий множитель $x$:

$$x(x^2-2)=0.$$

Это уравнение даёт два возможных решения. Первое:

$$x_1=0.$$

Второе:

$$x^2-2=0.$$

Решаем это уравнение:

$$x^2=2.$$

Извлекаем квадратный корень:

$$x=\pm \sqrt{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, одно из решений уравнения $x_1=0$ — это рациональное число, а второе решение $x_2=\pm \sqrt{2}$ — иррациональное.

Ответ: $0$ и $\pm \sqrt{2}$ — рациональный и иррациональные корни.