ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 140 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что если $a$, $b$, $c$ и $d$ — положительные числа, такие, что $\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}$, то

$$\frac{a}{b}\le \frac{a+c}{b+d}\le \frac{c}{d}\mathrm{.}$$

$a,b,c,d$ — положительные числа и $\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}$;

1)Докажем, что $\frac{a}{b}\le \frac{a+c}{b+d}$:

$$\frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+c)-a(b+d)}{b(b+d)}=\frac{ba+bc-ab-ad}{b(b+d)}=\frac{bc-ad}{b(b+d)};$$

Так как $b>0$ и $d>0$, то $b(b+d)>0$;
Так как $\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}$, то $ad-bc\le 0$ (задача 139), значит $bc-ad\ge 0$;
Тогда $\frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}\ge 0$, отсюда $\frac{a+c}{b+d}\ge \frac{a}{b}$;

2)Докажем, что $\frac{a+c}{b+d}\le \frac{c}{d}$:

$$\frac{c}{d}-\frac{a+c}{b+d}=\frac{c(b+d)-d(a+c)}{d(b+d)}=\frac{cb+cd-da-dc}{d(b+d)}=\frac{bc-ad}{d(b+d)};$$

Так как $a>0$, $b>0$ и $d>0$, то $a(b+d)>0$;
Так как $ad-bc\le 0$, то $bc-ad\ge 0$;
Тогда $\frac{c}{d}-\frac{a+c}{b+d}\ge 0$, отсюда $\frac{c}{d}\ge \frac{a+c}{b+d}$;

Таким образом, $\frac{a}{b}\le \frac{a+c}{b+d}\le \frac{c}{d}$, что и требовалось доказать.

1) Для того чтобы доказать, что $\frac{a}{b}\le \frac{a+c}{b+d}$, начнем с вычисления разности $\frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}$, и приведем обе дроби к общему знаменателю. Мы имеем:

$$\frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+c)-a(b+d)}{b(b+d)}$$

Теперь раскрываем скобки в числителе:

$$=\frac{ba+bc-ab-ad}{b(b+d)}=\frac{bc-ad}{b(b+d)}$$

Теперь анализируем полученное выражение. Так как $b>0$ и $d>0$, то знаменатель $b(b+d)>0$. Теперь, поскольку по условию $\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}$, это означает, что $ad-bc\le 0$, а следовательно:

$$bc-ad\ge 0$$

Таким образом, числитель $bc-ad$ положителен или равен нулю, а знаменатель $b(b+d)$ положителен, следовательно:

$$\frac{bc-ad}{b(b+d)}\ge 0$$

Это означает, что разность $\frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}$ больше или равна нулю:

$$\frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}\ge 0$$

Следовательно, $\frac{a+c}{b+d}\ge \frac{a}{b}$, что и требовалось доказать.

2)Теперь докажем, что $\frac{a+c}{b+d}\le \frac{c}{d}$. Для этого вычитаем $\frac{a+c}{b+d}$ из $\frac{c}{d}$, приводя к общему знаменателю:

$$\frac{c}{d}-\frac{a+c}{b+d}=\frac{c(b+d)-d(a+c)}{d(b+d)}=\frac{cb+cd-da-dc}{d(b+d)}=\frac{bc-ad}{d(b+d)}$$

Анализируем числитель $bc-ad$. Так как $a>0$, $b>0$ и $d>0$, то $a(b+d)>0$, а значит, $ad>0$. Поскольку по условию $ad-bc\le 0$, это означает, что:

$$bc-ad\ge 0$$

Таким образом, числитель $bc-ad$ положителен или равен нулю, а знаменатель $d(b+d)>0$, следовательно:

$$\frac{bc-ad}{d(b+d)}\ge 0$$

Это означает, что разность $\frac{c}{d}-\frac{a+c}{b+d}$ больше или равна нулю:

$$\frac{c}{d}-\frac{a+c}{b+d}\ge 0$$

Следовательно, $\frac{c}{d}\ge \frac{a+c}{b+d}$, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что $\frac{a}{b}\le \frac{a+c}{b+d}\le \frac{c}{d}$.