ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 139 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пусть $a$, $b$, $c$ и $d$ — положительные числа. Докажите, что $\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}$ в том и только в том случае, когда $ad-bc\le 0$. Пользуясь этим фактом, сравните дроби: $\frac{5}{18}$ и $\frac{6}{17}$; $\frac{8}{19}$ и $\frac{7}{22}$.

$a$, $b$, $c$ и $d$ — положительные числа;

1)Докажем, что если $\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}$, то $ad-bc\le 0$:

$$\frac{a}{b}\le \frac{c}{d};$$

$$$$$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\le 0;$$

$$$$$$\frac{ad-bc}{bd}\le 0;$$

Так как $b>0$ и $d>0$, то $bd>0$, значит $ad-bc\le 0$;

2)Докажем, что если $ad-bc\le 0$, то $\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}$:

$$ad-bc\le 0;$$

$$$$$$ad\le bc\mid :bd;$$

$$$$$$\frac{ad}{bd}\le \frac{bc}{bd};$$

$$$$$$\frac{a}{b}\le \frac{c}{d};$$

3)Сравним указанные дроби:

$$\frac{5}{18}\text{ и }\frac{6}{17}\Rightarrow 5\cdot 17<6\cdot 18,\text{ значит }\frac{5}{18}<\frac{6}{17};$$

$$$$$$\frac{8}{19}\text{ и }\frac{7}{22}\Rightarrow 8\cdot 22>7\cdot 19,\text{ значит }\frac{8}{19}>\frac{7}{22}$$

$a$, $b$, $c$ и $d$ — положительные числа;

1)Докажем, что если $\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}$, то $ad-bc\le 0$:
Из условия $\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}$ вычитаем обе стороны неравенства:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\le 0$$

Приводим обе дроби к общему знаменателю:

$$\frac{ad-bc}{bd}\le 0$$

Так как $b>0$ и $d>0$, то произведение $bd>0$, следовательно, знак дроби не меняется, и мы получаем:

$$ad-bc\le 0$$

Что и требовалось доказать.

2)Докажем, что если $ad-bc\le 0$, то $\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}$:
Из условия $ad-bc\le 0$ выразим $ad\le bc$. Теперь разделим обе части на $bd$, так как $b>0$ и $d>0$, то можно делить на $bd$, не изменяя знака:

$$\frac{ad}{bd}\le \frac{bc}{bd}$$

После сокращения получаем:

$$\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}$$

что и требовалось доказать.

3)Сравним указанные дроби:
Для дробей $\frac{5}{18}$ и $\frac{6}{17}$ сравним произведения кросс-умножением. Мы умножаем числители одной дроби на знаменатели другой:

$$5\cdot 17=85\text{и}6\cdot 18=108$$

Так как $85<108$, это означает, что:

$$\frac{5}{18}<\frac{6}{17}$$

Теперь сравним дроби $\frac{8}{19}$ и $\frac{7}{22}$. Также умножим числители на знаменатели:

$$8\cdot 22=176\text{и}7\cdot 19=133$$

Так как $176>133$, это означает, что:

$$\frac{8}{19}>\frac{7}{22}$$