ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 137 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите разными способами, что:
а) если $a>b>0$, то $a^2+a>b^2+b$;
б) если $a>1$ и $b>0$, то $ab+a>b+1$.

а) Если $a>b>0$, то $a^2+a>b^2+b$;

1)Первый способ:

$$(a^2+a)-(b^2+b)=a^2-b^2+a-b=(a-b)(a+b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1)$$

Так как $a>b>0$, то $a-b>0$ и $a+b+1>0$;
Тогда:

$$(a^2+a)-(b^2+b)>0$$

отсюда $a^2+a>b^2+b$;

2)Второй способ:
В примере 3 было доказано, что если $a>b>0$, то $a^2>b^2$, значит:

$$a^2\ge b^2+b$$

б) Если $a>1$ и $b>0$, то $ab+a>b+1$;

1)Первый способ:

$$(ab+a)-(b+1)=ab-b+a-1=b(a-1)+(a-1)=(b+1)(a-1)$$

Так как $a>1$ и $b>0$, то $(a-1)>0$ и $(b+1)>0$;
Тогда:

$$(ab+a)-(b+1)>0$$

отсюда $ab+a>b+1$;

2)Второй способ:
$b>0$, значит $b+1>0$, тогда:

$$a>1\Rightarrow a(b+1)>b+1$$

$$$$$$ab+a>b+1$$

а) Если $a>b>0$, то $a^2+a>b^2+b$;

1)Первый способ:
Для доказательства неравенства $a^2+a>b^2+b$ начнем с вычисления разности $(a^2+a)-(b^2+b)$. Перепишем её в следующем виде:

$$(a^2+a)-(b^2+b)=a^2-b^2+a-b$$

Теперь распишем выражение $a^2-b^2$ как разность квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Тогда выражение примет вид:

$$(a-b)(a+b)+(a-b)$$

Теперь вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$$(a-b)(a+b+1)$$

Так как $a>b>0$, то $a-b>0$ и $a+b+1>0$, поскольку сумма двух положительных чисел и 1 всегда положительна. Следовательно:

$$(a-b)(a+b+1)>0$$

Таким образом, разность $(a^2+a)-(b^2+b)>0$, что даёт нам:

$$a^2+a>b^2+b$$

2)Второй способ:
Для второго способа используем результат из предыдущего примера. Было доказано, что если $a>b>0$, то $a^2>b^2$. Это неравенство можно переписать как:

$$a^2\ge b^2+b$$

Таким образом, получаем:

$$a^2+a\ge b^2+b$$

что и требовалось доказать.

б) Если $a>1$ и $b>0$, то $ab+a>b+1$;

1)Первый способ:
Для доказательства неравенства $ab+a>b+1$, начнем с вычисления разности $(ab+a)-(b+1)$. Это выражение можно переписать так:

$$ab+a-b-1=ab-b+a-1$$

Теперь выделим общий множитель $b$ в первом слагаемом:

$$ab-b=b(a-1)$$

Получаем:

$$b(a-1)+(a-1)$$

Теперь вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:

$$(a-1)(b+1)$$

Так как $a>1$ и $b>0$, то $(a-1)>0$ и $(b+1)>0$, поскольку сумма положительного числа и 1 всегда больше нуля. Следовательно:

$$(a-1)(b+1)>0$$

Таким образом, разность $(ab+a)-(b+1)>0$, что даёт нам:

$$ab+a>b+1$$

2)Второй способ:
Для второго способа воспользуемся тем, что $b>0$, следовательно $b+1>0$. Теперь, так как $a>1$, умножим обе части неравенства $a>1$ на $(b+1)$:

$$a(b+1)>b+1$$

Теперь раскроем скобки:

$$ab+a>b+1$$

Таким образом, получаем:

$$ab+a>b+1$$

что и требовалось доказать.