ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 136 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите неравенство:
а) $a^2+b^2+2\ge 2(a+b);$
б) $a^2+b^2+c^2+3\ge 2(a+b+c)\mathrm{.}$

Квадрат любого числа неотрицателен;

а) $a^2+b^2+2\ge 2(a+b):$

$$(a-1{)}^2\ge 0\text{и}(b-1{)}^2\ge 0;$$

$$$$$$(a-1{)}^2+(b-1{)}^2\ge 0;$$

$$$$$$a^2-2a+1+b^2-2b+1\ge 0;$$

$$$$$$a^2+b^2+2\ge 2a+2b;$$

$$$$$$a^2+b^2+2\ge 2(a+b);$$

б) $a^2+b^2+c^2+3\ge 2(a+b+c):$

$$(a-1{)}^2\ge 0,(b-1{)}^2\ge 0\text{и}(c-1{)}^2\ge 0;$$

$$$$$$(a-1{)}^2+(b-1{)}^2+(c-1{)}^2\ge 0;$$

$$$$$$a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1\ge 0;$$

$$$$$$a^2+b^2+c^2+3\ge 2a+2b+2c;$$

$$$$$$a^2+b^2+c^2+3\ge 2(a+b+c);$$

Квадрат любого числа неотрицателен;

а) $a^2+b^2+2\ge 2(a+b)$:

Начнем с того, что $a^2+b^2+2\ge 2(a+b)$ — это неравенство, которое можно переписать следующим образом:

$$a^2+b^2+2-2a-2b\ge 0$$

Теперь давайте разложим его по шагам.

Сначала добавим и вычтем 1 в выражении $a^2-2a$ и $b^2-2b$:

$$a^2-2a+1+b^2-2b+1+2-2\ge 0$$

Это позволяет нам сгруппировать выражения в квадраты:

$$(a-1{)}^2+(b-1{)}^2\ge 0$$

Каждое из этих слагаемых является квадратом, а квадрат любого числа всегда неотрицателен, следовательно:

$$(a-1{)}^2\ge 0\text{и}(b-1{)}^2\ge 0$$

Таким образом, вся левая часть неравенства:

$$(a-1{)}^2+(b-1{)}^2\ge 0$$

Это завершает доказательство того, что:

$$a^2+b^2+2\ge 2(a+b)$$

б) $a^2+b^2+c^2+3\ge 2(a+b+c)$:

Подобно предыдущему примеру, начнем с переписывания неравенства:

$$a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c\ge 0$$

Теперь добавим и вычтем 1 в каждом из квадратных выражений:

$$a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1+3-3\ge 0$$

Как и в предыдущем случае, сгруппируем выражения в квадраты:

$$(a-1{)}^2+(b-1{)}^2+(c-1{)}^2\ge 0$$

Теперь, поскольку каждый квадрат неотрицателен, мы знаем, что:

$$(a-1{)}^2\ge 0,(b-1{)}^2\ge 0,(c-1{)}^2\ge 0$$

Таким образом, вся левая часть неравенства:

$$(a-1{)}^2+(b-1{)}^2+(c-1{)}^2\ge 0$$

Следовательно, неравенство:

$$a^2+b^2+c^2+3\ge 2(a+b+c)$$

также выполняется.