ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 135 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что для положительных чисел $p$ и $q$:
а) $p^3+q^3\ge p^{2}q+p{q}^2;$
б) $p^4-q^4\ge p^{3}q+p{q}^3\mathrm{.}$

Числа $p$ и $q$ — положительные;

а) $p^3+q^3\ge p^{2}q+p{q}^2$:
$p+q>0$ и $(p-q{)}^2\ge 0$;

$$(p+q)(p-q{)}^2\ge 0;$$

$$$$$$(p+q)(p-q)(p-q)\ge 0;$$

$$$$$$(p^2-q^2)(p-q)\ge 0;$$

$$$$$$p^2(p-q)-q^2(p-q)\ge 0;$$

$$$$$$p^3-p^{2}q-p{q}^2+q^3\ge 0;$$

$$$$$$p^3+q^3\ge p^{2}q+p{q}^2;$$

б) $p^4+q^4\ge p^{3}q+p{q}^3$:
$(p-q{)}^2\ge 0$ и $(p^2+pq+q^2)\ge 0$;

$$(p-q{)}^2(p^2+pq+q^2)\ge 0;$$

$$$$$$(p-q)(p-q)(p^2+pq+q^2)\ge 0;$$

$$$$$$(p-q)(p^3+p^{2}q+p{q}^2-p^{2}q-p{q}^2-q^3)\ge 0;$$

$$$$$$(p-q)(p^3-q^3)\ge 0;$$

$$$$$$p^3(p-q)\ge q^3(p-q)\ge 0;$$

$$$$$$p^4-p^{3}q-p{q}^3+q^4\ge 0;$$

$$$$$$p^4+q^4\ge p^{3}q+p{q}^3;$$

Числа $p$ и $q$ — положительные;

а) $p^3+q^3\ge p^{2}q+p{q}^2$:

Начнем с разности $p^3+q^3-p^{2}q-p{q}^2$. Мы перепишем это выражение, чтобы легче было работать с ним:

$$p^3+q^3-p^{2}q-p{q}^2=(p^3-p^{2}q)+(q^3-p{q}^2)$$

Теперь выделим общий множитель в каждом слагаемом:

$$=p^2(p-q)+q^2(q-p)$$

Обратите внимание, что во втором слагаемом можно вынести минус:

$$=p^2(p-q)-q^2(p-q)$$

Теперь выделим общий множитель $(p-q)$:

$$=(p-q)(p^2-q^2)$$

Здесь мы использовали формулу разности квадратов:

$$p^2-q^2=(p-q)(p+q)$$

Таким образом, получаем:

$$=(p-q{)}^2(p+q)$$

Так как $p$ и $q$ — положительные числа, то $(p-q{)}^2\ge 0$ и $p+q>0$, следовательно:

$$(p-q{)}^2(p+q)\ge 0$$

Это значит, что:

$$p^3+q^3\ge p^{2}q+p{q}^2$$

что и требовалось доказать.

б) $p^4+q^4\ge p^{3}q+p{q}^3$:

Начнем с разности $p^4+q^4-p^{3}q-p{q}^3$. Запишем это выражение:

$$p^4+q^4-p^{3}q-p{q}^3=(p^4-p^{3}q)+(q^4-p{q}^3)$$

Теперь выделим общий множитель в каждом из слагаемых:

$$=p^3(p-q)+q^3(q-p)$$

Во втором слагаемом вынесем минус:

$$=p^3(p-q)-q^3(p-q)$$

Теперь выделим общий множитель $(p-q)$:

$$=(p-q)(p^3-q^3)$$

Используем формулу разности кубов:

$$p^3-q^3=(p-q)(p^2+pq+q^2)$$

Подставляем это в выражение:

$$=(p-q{)}^2(p^2+pq+q^2)$$

Так как $p$ и $q$ — положительные числа, то $(p-q{)}^2\ge 0$ и $p^2+pq+q^2>0$, следовательно:

$$(p-q{)}^2(p^2+pq+q^2)\ge 0$$

Это значит, что:

$$p^4+q^4\ge p^{3}q+p{q}^3$$

что и требовалось доказать.