ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 134 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите разными способами свойство неравенств: если $a>b$ и $c>d$, и $a,b,c,d$ — числа положительные, то $ac>bd$.

Указание.

1)Сравните разность $ac-bd$ с нулем:

$$ac-bd=ac-bd+bc-bc=\dots$$

2)Воспользуйтесь свойством транзитивности неравенств.

Если $a>b$ и $c>d$ и $a$, $b$, $c$, $d$ — положительные числа, то $ac>bd$;

1)Первый способ:

$$ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)$$

Поскольку $c>0$, $b>0$, $a-b>0$ и $c-d>0$, значит $ac-bd>0$;
Тогда $ac>bd$, что и требовалось доказать.

2)Второй способ:
$a>b$, значит $ac>bc$ и $c>d$, значит $bc>bd$;
Тогда $ac>bc>bd$, то есть $ac>bd$, что и требовалось доказать.

Если $a>b$ и $c>d$ и $a$, $b$, $c$, $d$ — положительные числа, то $ac>bd$.

1)Первый способ:
Рассмотрим разность $ac-bd$ и сравним её с нулем:

$$ac-bd=ac-bc+bc-bd$$

Теперь выделим общие множители в каждом из слагаемых:

$$ac-bd=c(a-b)+b(c-d)$$

Мы видим, что выражение $ac-bd$ разложилось на два слагаемых: $c(a-b)$ и $b(c-d)$. Теперь проанализируем каждое из них:

• $c>0$, так как $c$ положительное число.
• $b>0$, так как $b$ положительное число.
• $a-b>0$, так как $a>b$, значит разница $a-b$ положительна.
• $c-d>0$, так как $c>d$, значит разница $c-d$ положительна.

Таким образом, оба слагаемых $c(a-b)$ и $b(c-d)$ будут положительными, так как каждый из множителей в этих произведениях положителен:

$$c(a-b)>0\text{и}b(c-d)>0$$

Следовательно:

$$ac-bd=c(a-b)+b(c-d)>0$$

Таким образом, $ac-bd>0$, что означает:

$$ac>bd$$

что и требовалось доказать.

2)Второй способ:
Из условия $a>b$ и $c>d$ можем сделать вывод, что:

$$a>b\text{и}c>d$$

Теперь рассмотрим произведения $ac$ и $bc$:

• Так как $a>b$ и $c>0$, то, умножив обе части неравенства $a>b$ на положительное число $c$, мы получаем:

$$ac>bc$$

Теперь рассмотрим произведения $bc$ и $bd$:

• Так как $c>d$ и $b>0$, то, умножив обе части неравенства $c>d$ на положительное число $b$, получаем:

$$bc>bd$$

Таким образом, из двух неравенств $ac>bc$ и $bc>bd$ по свойству транзитивности неравенств можем заключить:

$$ac>bd$$

что и требовалось доказать.