ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 129 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что если $a>0$, то а + $\frac{1}{a}\ge 2$.
Сформулируйте словами доказанное свойство и конкретизируйте его примерами.

1.Докажем данное свойство:

1)Квадрат любого числа неотрицателен, значит: $(a-1{)}^2\ge 0$;

2)По условию $a>0$, тогда: $\frac{(a-1{)}^2}{a}\ge 0$;

3)Раскроем скобки:

$a^2-2a+1\ge 0$;
$a-2+\frac{1}{a}\ge 0$;
$a+\frac{1}{a}\ge 2$, что и требовалось доказать.

2. Сформулируем свойство словами:
Сумма любого положительного числа и обратного ему числа не меньше, чем два;

3. Приведем примеры:
$0,2+\frac{1}{0,2}=0,2+5=5,2>2$;
$1+\frac{1}{1}=1+1=2$;
$4+\frac{1}{4}=4+0,25=4,25>2$.

1. Докажем данное свойство:

Квадрат любого числа неотрицателен, так как квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Это можно записать как:

$$(a-1{)}^2\ge 0$$

Так как $(a-1{)}^2\ge 0$ для любых $a$, мы можем продолжить разбор неравенства.

Теперь, по условию, $a>0$, следовательно, выражение $\frac{(a-1{)}^2}{a}$ будет неотрицательным, потому что числитель $(a-1{)}^2\ge 0$ и знаменатель $a>0$. Таким образом, получаем:

$$\frac{(a-1{)}^2}{a}\ge 0$$

Это неравенство всегда выполняется при условии, что $a>0$.

Раскроем скобки в выражении $(a-1{)}^2$:

$$(a-1{)}^2=a^2-2a+1$$

Подставляем это в исходное неравенство:

$$\frac{a^2-2a+1}{a}\ge 0$$

Разделим каждое слагаемое числителя на $a$:

$$\frac{a^2}{a}-\frac{2a}{a}+\frac{1}{a}\ge 0$$

Это даёт:

$$a-2+\frac{1}{a}\ge 0$$

Мы получили неравенство $a-2+\frac{1}{a}\ge 0$, что можно переписать как:

$$a+\frac{1}{a}\ge 2$$

Это и есть требуемое неравенство, которое и требовалось доказать.

2. Сформулируем свойство словами:
Сумма любого положительного числа $a$ и обратного ему числа $\frac{1}{a}$ всегда не меньше, чем два. Это означает, что для всех положительных чисел выполняется следующее неравенство:

$$a+\frac{1}{a}\ge 2$$

3. Приведем примеры:

• Для $a=0,2$:$$0,2+\frac{1}{0,2}=0,2+5=5,2>2$$Этот пример подтверждает, что сумма числа $0,2$ и его обратного числа больше 2.
• Для $a=1$:$$1+\frac{1}{1}=1+1=2$$Здесь мы видим, что сумма числа $1$ и его обратного числа равна 2, что соответствует нижней границе неравенства.
• Для $a=4$:$$4+\frac{1}{4}=4+0,25=4,25>2$$В этом примере сумма числа $4$ и его обратного числа также больше 2, что подтверждает правильность свойства для любых положительных чисел.