ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 128 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Пусть $a$ и $b$ — положительные числа, и $a<b$. Сравните $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

б) Пусть $a$ и $b$ — отрицательные числа, и $a<b$. Сравните $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

а) Если $a$ и $b$ — положительные числа и $a<b$, тогда:
$b-a>0$ и $ab>0$;

$\frac{b-a}{ab}>0$;

$\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}>0$, значит $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$;

б) Если $a$ и $b$ — отрицательные числа и $a<b$, тогда:
$a-b<0$ и $ab>0$;

$\frac{a-b}{ab}<0$;

$\frac{a}{ab}-\frac{b}{ab}<0$, значит $\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$.

а) Пусть $a$ и $b$ — положительные числа, и $a<b$. Необходимо сравнить $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

Из условия $a<b$, вычитаем $a$ из обеих сторон неравенства:

$$b-a>0$$

Так как $b>a$ и оба числа положительные, разность $b-a$ обязательно больше нуля.

Далее, умножим обе части неравенства $b-a>0$ на положительное число $ab$ (так как $a>0$ и $b>0$, произведение $ab$ также положительно):

$$(b-a)\cdot \frac{1}{ab}>0$$

Это утверждение очевидно, так как обе части произведения положительные, значит, вся дробь $\frac{b-a}{ab}$ положительна.

Теперь преобразуем дробь $\frac{b-a}{ab}$:

$$\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$$

Мы видим, что разность $\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}$ преобразуется в разницу двух дробей $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

Так как дробь $\frac{b-a}{ab}>0$, то и разность $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}>0$, что в свою очередь означает, что:

$$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$$

Таким образом, для положительных чисел $a$ и $b$, при $a<b$, выполняется неравенство $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$.

б) Пусть $a$ и $b$ — отрицательные числа, и $a<b$. Необходимо сравнить $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$.

Из условия $a<b$, вычитаем $b$ из обеих сторон:

$$a-b<0$$

Так как $a<b$, разность $a-b$ обязательно меньше нуля.

Умножаем обе части неравенства $a-b<0$ на положительное число $ab$ (так как $a<0$ и $b<0$, произведение $ab$ положительно):

$$(a-b)\cdot \frac{1}{ab}<0$$

Это утверждение очевидно, так как обе части произведения отрицательны, значит, дробь $\frac{a-b}{ab}$ отрицательна.

Преобразуем дробь $\frac{a-b}{ab}$:

$$\frac{a}{ab}-\frac{b}{ab}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$$

Мы видим, что разность $\frac{a}{ab}-\frac{b}{ab}$ преобразуется в разницу двух дробей $\frac{1}{b}$ и $\frac{1}{a}$.

Так как дробь $\frac{a-b}{ab}<0$, то и разность $\frac{1}{b}-\frac{1}{a}<0$, что в свою очередь означает, что:

$$\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$$

Таким образом, для отрицательных чисел $a$ и $b$, при $a<b$, выполняется неравенство $\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$.