ГДЗ Дорофеев 9 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 127 Дорофеев, Суворова - Подробные Ответы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

9 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 9-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 127 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что для любых чисел $a$ и $b$ :

а) $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ ;

б) $(a + b)^{2} \geq a b$ ;

в) $a^{2} + 2 a b + b^{2} \geq 4 a b$ ;

г) $a (a - b) \geq b (a - b)$ ;

д) $\frac{a^{2} + 1}{2} \geq a$ ;

е) $\frac{a}{a^{2} + 1} \leq \frac{1}{2}$ .

Краткий ответ

Квадрат любого числа не отрицателен;

а) $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ :

$(a + b)^{2} \geq 0;$

$a^{2} - 2 a b + b^{2} \geq 0 ∣ + 2 a b;$

$a^{2} + b^{2} \geq 2 a b;$

б) $(a + b) \cdot b \geq a b$ :

$b^{2} \geq 0 ∣ + a b;$

$a b + b^{2} \geq a b;$

$(a + b) \cdot b \geq a b;$

в) $a^{2} + 2 a b + b^{2} \geq 4 a b$ :

$(a - b)^{2} \geq 0;$

$a^{2} - 2 a b + b^{2} \geq 0 ∣ + 4 a b;$

$a^{2} + 2 a b + b^{2} \geq 4 a b;$

г) $a (a - b) \geq b (a - b)$ :

$(a - b)^{2} \geq 0;$

$a^{2} - 2 a b + b^{2} \geq 0 ∣ + a b;$

$a^{2} - a b \geq a b - b^{2};$

$a (a - b) \geq b (a - b);$

д) $\frac{a^{2} + 1}{2} \geq a$ :

$(a - 1)^{2} \geq 0;$

$a^{2} - 2 a + 1 \geq 0 ∣ + 2 a;$

$a^{2} + 1 \geq 2 a ∣ : 2;$

$\frac{a^{2} + 1}{2} \geq a;$

е) $\frac{a}{a^{2} + 1} \leq \frac{1}{2}$ :

$- (a - 1)^{2} \leq 0 и (a^{2} + 1) \geq 0;$

$- \frac{(a - 1)^{2}}{a^{2} + 1} \leq 0 ∣ : 2;$

$\frac{2 a - a^{2} - 1}{2 \cdot (a^{2} + 1)} \leq 0;$

$\frac{2 a}{2 \cdot (a^{2} + 1)} - \frac{a^{2} + 1}{2 \cdot (a^{2} + 1)} \leq 0;$

$\frac{a}{a^{2} + 1} - \frac{1}{2} \leq 0;$

$\frac{a}{a^{2} + 1} \leq \frac{1}{2} .$

Подробный ответ

а) $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ :

Рассмотрим выражение $a^{2} + b^{2}$ . Мы можем представить его как разность квадратов:

$a^{2} + b^{2} - 2 a b = (a - b)^{2} .$

Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, то $(a - b)^{2} \geq 0$ . Таким образом:

$a^{2} + b^{2} - 2 a b \geq 0 \Rightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 a b .$

б) $(a + b) \cdot b \geq a b$ :

Рассмотрим выражение $(a + b) \cdot b$ . Раскроем скобки:

$(a + b) \cdot b = a b + b^{2} .$

Так как $b^{2} \geq 0$ , то:

$a b + b^{2} \geq a b .$

Следовательно:

$(a + b) \cdot b \geq a b .$

в) $a^{2} + 2 a b + b^{2} \geq 4 a b$ :

Рассмотрим выражение $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ . Это выражение можно записать как полный квадрат:

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2} .$

Так как $(a + b)^{2} \geq 0$ , то:

$a^{2} + 2 a b + b^{2} \geq 0.$

Теперь сравним это с $4 a b$ . Мы можем заметить, что $(a + b)^{2}$ всегда больше либо равно $4 a b$ , так как:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} и 4 a b = 2 a b + 2 a b .$

Это неравенство будет выполняться, потому что $a^{2} + b^{2} \geq 0$ , и всегда будет добавлено больше или равно $2 a b$ :

$a^{2} + 2 a b + b^{2} \geq 4 a b .$

г) $a (a - b) \geq b (a - b)$ :

Рассмотрим выражение $a (a - b) - b (a - b)$ . Вынесем общий множитель $(a - b)$ :

$a (a - b) - b (a - b) = (a - b) (a - b) .$

Так как $(a - b)^{2} \geq 0$ , то:

$(a - b) (a - b) \geq 0.$

Следовательно:

$a (a - b) \geq b (a - b) .$

д) $\frac{a^{2} + 1}{2} \geq a$ :

Рассмотрим выражение $\frac{a^{2} + 1}{2} - a$ . Приведем к общему знаменателю:

$\frac{a^{2} + 1}{2} - a = \frac{a^{2} + 1 - 2 a}{2} = \frac{a^{2} - 2 a + 1}{2} .$

Заметили, что $a^{2} - 2 a + 1 = (a - 1)^{2}$ , и поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то:

$\frac{(a - 1)^{2}}{2} \geq 0.$

Таким образом:

$\frac{a^{2} + 1}{2} \geq a .$

е) $\frac{a}{a^{2} + 1} \leq \frac{1}{2}$ :

Рассмотрим выражение $\frac{a}{a^{2} + 1} - \frac{1}{2}$ . Приведем к общему знаменателю:

$\frac{a}{a^{2} + 1} - \frac{1}{2} = \frac{2 a - (a^{2} + 1)}{2 (a^{2} + 1)} = \frac{2 a - a^{2} - 1}{2 (a^{2} + 1)} .$

Нам нужно доказать, что эта дробь меньше либо равна нулю. Числитель равен $2 a - a^{2} - 1$ , и он будет меньше либо равен нулю, если $a$ лежит в пределах от $- 1$ до $1$ . Следовательно: