ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 127 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что для любых чисел $a$ и $b$:

а) $a^2+b^2\ge 2ab$;

б) $(a+b{)}^2\ge ab$;

в) $a^2+2ab+b^2\ge 4ab$;

г) $a(a-b)\ge b(a-b)$;

д) $\frac{a^2+1}{2}\ge a$;

е) $\frac{a}{a^2+1}\le \frac{1}{2}$.

Квадрат любого числа не отрицателен;

а) $a^2+b^2\ge 2ab$:

$$(a+b{)}^2\ge 0;$$

$$$$$$a^2-2ab+b^2\ge 0\mathrm{\mid }+2ab;$$

$$$$$$a^2+b^2\ge 2ab;$$

б) $(a+b)\cdot b\ge ab$:

$$b^2\ge 0\mathrm{\mid }+ab;$$

$$$$$$ab+b^2\ge ab;$$

$$$$$$(a+b)\cdot b\ge ab;$$

в) $a^2+2ab+b^2\ge 4ab$:

$$(a-b{)}^2\ge 0;$$

$$$$$$a^2-2ab+b^2\ge 0\mathrm{\mid }+4ab;$$

$$$$$$a^2+2ab+b^2\ge 4ab;$$

г) $a(a-b)\ge b(a-b)$:

$$(a-b{)}^2\ge 0;$$

$$$$$$a^2-2ab+b^2\ge 0\mathrm{\mid }+ab;$$

$$$$$$a^2-ab\ge ab-b^2;$$

$$$$$$a(a-b)\ge b(a-b);$$

д) $\frac{a^2+1}{2}\ge a$:

$$(a-1{)}^2\ge 0;$$

$$$$$$a^2-2a+1\ge 0\mathrm{\mid }+2a;$$

$$$$$$a^2+1\ge 2a\mathrm{\mid }:2;$$

$$$$$$\frac{a^2+1}{2}\ge a;$$

е) $\frac{a}{a^2+1}\le \frac{1}{2}$:

$$-(a-1{)}^2\le 0\text{и}(a^2+1)\ge 0;$$

$$$$$$-\frac{(a-1{)}^2}{a^2+1}\le 0\mathrm{\mid }:2;$$

$$$$$$\frac{2a-a^2-1}{2\cdot (a^2+1)}\le 0;$$

$$$$$$\frac{2a}{2\cdot (a^2+1)}-\frac{a^2+1}{2\cdot (a^2+1)}\le 0;$$

$$$$$$\frac{a}{a^2+1}-\frac{1}{2}\le 0;$$

$$$$$$\frac{a}{a^2+1}\le \frac{1}{2}\mathrm{.}$$

а) $a^2+b^2\ge 2ab$:

Рассмотрим выражение $a^2+b^2$. Мы можем представить его как разность квадратов:

$$a^2+b^2-2ab=(a-b{)}^2\mathrm{.}$$

Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, то $(a-b{)}^2\ge 0$. Таким образом:

$$a^2+b^2-2ab\ge 0\Rightarrow a^2+b^2\ge 2ab\mathrm{.}$$

б) $(a+b)\cdot b\ge ab$:

Рассмотрим выражение $(a+b)\cdot b$. Раскроем скобки:

$$(a+b)\cdot b=ab+b^2\mathrm{.}$$

Так как $b^2\ge 0$, то:

$$ab+b^2\ge ab\mathrm{.}$$

Следовательно:

$$(a+b)\cdot b\ge ab\mathrm{.}$$

в) $a^2+2ab+b^2\ge 4ab$:

Рассмотрим выражение $a^2+2ab+b^2$. Это выражение можно записать как полный квадрат:

$$a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2\mathrm{.}$$

Так как $(a+b{)}^2\ge 0$, то:

$$a^2+2ab+b^2\ge 0.$$

Теперь сравним это с $4ab$. Мы можем заметить, что $(a+b{)}^2$ всегда больше либо равно $4ab$, так как:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\text{и}4ab=2ab+2ab\mathrm{.}$$

Это неравенство будет выполняться, потому что $a^2+b^2\ge 0$, и всегда будет добавлено больше или равно $2ab$:

$$a^2+2ab+b^2\ge 4ab\mathrm{.}$$

г) $a(a-b)\ge b(a-b)$:

Рассмотрим выражение $a(a-b)-b(a-b)$. Вынесем общий множитель $(a-b)$:

$$a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a-b)\mathrm{.}$$

Так как $(a-b{)}^2\ge 0$, то:

$$(a-b)(a-b)\ge 0.$$

Следовательно:

$$a(a-b)\ge b(a-b)\mathrm{.}$$

д) $\frac{a^2+1}{2}\ge a$:

Рассмотрим выражение $\frac{a^2+1}{2}-a$. Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{a^2+1}{2}-a=\frac{a^2+1-2a}{2}=\frac{a^2-2a+1}{2}\mathrm{.}$$

Заметили, что $a^2-2a+1=(a-1{)}^2$, и поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то:

$$\frac{(a-1{)}^2}{2}\ge 0.$$

Таким образом:

$$\frac{a^2+1}{2}\ge a\mathrm{.}$$

е) $\frac{a}{a^2+1}\le \frac{1}{2}$:

Рассмотрим выражение $\frac{a}{a^2+1}-\frac{1}{2}$. Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{a}{a^2+1}-\frac{1}{2}=\frac{2a-(a^2+1)}{2(a^2+1)}=\frac{2a-a^2-1}{2(a^2+1)}\mathrm{.}$$

Нам нужно доказать, что эта дробь меньше либо равна нулю. Числитель равен $2a-a^2-1$, и он будет меньше либо равен нулю, если $a$ лежит в пределах от $-1$ до $1$. Следовательно:

$$\frac{a}{a^2+1}\le \frac{1}{2}\mathrm{.}$$