ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 126 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите свойства неравенств:

а) если $a\le b$ и $b\le c$, то $a\le c$;

б) если $a>b$, то $a+c>b+c$;

в) если $a>b$ и $c>0$, то $ac>bc$;

г) если  и $c<0$, то $ac\mathrm{ \ge \; b}c$;

а) Если $a\le b$ и $b\le c$, то $a\le c$:
$a-c=a-b+b-c=(a-b)+(b-c);$
$a-b\le 0$ и $b-c\le 0$, тогда $a-c\le 0;$
Значит $a\le c;$

б) Если $a>b$, то $a+c>b+c$:
$(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b;$
$a-b>0$, тогда $(a+c)-(b+c)>0;$
Значит $a+c>b+c;$

в) Если $a>b$ и $c>0$, то $ac>bc$:
$ac-bc=c(a-b);$
$a-b>0$ и $c>0$, тогда $ac-bc>0;$
Значит $ac>bc;$

г) Если $a\le b$ и $c<0$, то $ac\ge bc$:
$ac-bc=c(a-b);$
$a-b\le 0$ и $c<0$, тогда $ac-bc\ge 0;$
Значит $ac\ge bc\mathrm{.}$

а) Если $a\le b$ и $b\le c$, то $a\le c$:
Рассмотрим выражение $a-c$. Мы можем записать его как сумму двух разностей:

$$a-c=(a-b)+(b-c)\mathrm{.}$$

Из первого неравенства $a\le b$ следует, что $a-b\le 0$, так как $a$ меньше или равно $b$.
Из второго неравенства $b\le c$ следует, что $b-c\le 0$, так как $b$ меньше или равно $c$.
Таким образом, сумма двух неотрицательных чисел $a-b$ и $b-c$ будет тоже неотрицательной, то есть $a-c\le 0$, что даёт:

$$a\le c\mathrm{.}$$

б) Если $a>b$, то $a+c>b+c$:
Рассмотрим выражение $(a+c)-(b+c)$. Разложим его на два слагаемых:

$$(a+c)-(b+c)=a-b\mathrm{.}$$

Так как $a>b$, то $a-b>0$. Следовательно:

$$(a+c)-(b+c)>0.$$

Таким образом, $a+c>b+c$, так как если разница между $a$ и $b$ положительна, то та же разница между $a+c$ и $b+c$ тоже будет положительна.

в) Если $a>b$ и $c>0$, то $ac>bc$:
Рассмотрим выражение $ac-bc$. Мы можем вынести общий множитель $c$ за скобки:

$$ac-bc=c(a-b)\mathrm{.}$$

Так как $a>b$, то $a-b>0$. Кроме того, нам дано, что $c>0$. Умножив два положительных числа $c$ и $a-b$, мы получим положительное число:

$$ac-bc>0.$$

Таким образом, $ac>bc$, поскольку произведение двух положительных чисел всегда положительно.

г) Если $a\le b$ и $c<0$, то $ac\ge bc$:
Рассмотрим выражение $ac-bc$. Мы можем вынести общий множитель $c$ за скобки:

$$ac-bc=c(a-b)\mathrm{.}$$

Из условия $a\le b$ следует, что $a-b\le 0$. Кроме того, $c<0$, и умножение двух чисел с разными знаками всегда даёт отрицательное число или ноль. Таким образом, выражение $ac-bc$ будет не больше нуля, то есть:

$$ac-bc\le 0,$$

что даёт:

$$ac\ge bc\mathrm{.}$$