ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 105 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему неравенств и ответьте на вопрос, сколько целых решений имеет эта система:

а) $\{\begin{array}{l}x-2>-1\\ x+5<9\end{array}$

б) $\{\begin{array}{l}y-3<2\\ y+2⩾-6\end{array}$

в) $\{\begin{array}{l}5-z<2\\ 4+z>7\end{array}$

г) $\{\begin{array}{l}1+y⩽-3\\ y-2⩾-8\end{array}$

д) 

е) $\{\begin{array}{l}9-2z>11\\ 3z-4<5\end{array}$

а) $\{\begin{array}{l}x-2>-1\\ x+5<9\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>-1+2\\ x<9-5\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>1\\ x<4\end{array}$

$1<x<4$;

Целые решения: $2;3$;

Ответ: 2.

б) $\{\begin{array}{l}y-3<2\\ y+2⩾-6\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}y<2+3\\ y⩾-6-2\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}y<5\\ y⩾-8\end{array}$

$-8⩽y<5$;

Целые решения: $-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4$;

Ответ: 13.

в) $\{\begin{array}{l}5-z<2\\ 4+z>7\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}-z<2-5\\ z>7-4\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}-z<-3\\ z>3\end{array}$

$z>3$;

Ответ: бесконечно много.

г) $\{\begin{array}{l}1+y⩽-3\\ y-2⩾-8\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}y⩽-3-1\\ y⩾-8+2\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}y⩽-4\\ y⩾-6\end{array}$

$-6⩽y⩽-4$;

Целые решения: $-6;-5;-4$;

Ответ: 3.

д) $\{\begin{array}{l}2x-1⩽-1\\ 2x-1⩾-6\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x⩽-1+1\\ 2x⩾-6+1\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x⩽0\\ 2x⩾-5\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x⩽0\\ x⩾-2,5\end{array}$

$-2,5⩽x⩽0$;

Целые решения: $-2;-1;0$.

Ответ: 3.

е) $\{\begin{array}{l}9-2z>11\\ 3z-4<5\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}-2z>11-9\\ 3z<5+4\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}-2z>2\\ 3z<9\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}z<-1\\ z<3\end{array}$

$z<-1$;

Ответ: бесконечно много.

а) $\{\begin{array}{l}x-2>-1\\ x+5<9\end{array}$

Рассмотрим первое неравенство $x-2>-1$. Для того чтобы решить его, добавим 2 к обеим частям неравенства:

$$x>-1+2\Rightarrow x>1$$

Таким образом, первое неравенство $x-2>-1$ приводит к решению $x>1$, то есть числовой промежуток для первого неравенства — $(1,+\mathrm{\infty })$.

Теперь рассмотрим второе неравенство $x+5<9$. Чтобы решить его, вычтем 5 из обеих частей:

$$x<9-5\Rightarrow x<4$$

Таким образом, второе неравенство $x+5<9$ приводит к решению $x<4$, то есть числовой промежуток для второго неравенства — $(-\mathrm{\infty },4)$.

Теперь найдем пересечение этих двух промежутков. Мы ищем те значения $x$, которые одновременно удовлетворяют обоим неравенствам. Пересечение $(1,+\mathrm{\infty })$ и $(-\mathrm{\infty },4)$ — это промежуток $(1,4)$.

Целые числа, которые лежат в промежутке $(1,4)$, это $2$ и $3$.

Ответ: 2.

б) $\{\begin{array}{l}y-3<2\\ y+2⩾-6\end{array}$

Рассмотрим первое неравенство $y-3<2$. Чтобы решить его, добавим 3 к обеим частям:

$$y<2+3\Rightarrow y<5$$

Таким образом, первое неравенство $y-3<2$ приводит к решению $y<5$, то есть числовой промежуток для первого неравенства — $(-\mathrm{\infty },5)$.

Рассмотрим второе неравенство $y+2⩾-6$. Чтобы решить его, вычтем 2 из обеих частей:

$$y⩾-6-2\Rightarrow y⩾-8$$

Таким образом, второе неравенство $y+2⩾-6$ приводит к решению $y⩾-8$, то есть числовой промежуток для второго неравенства — $[-8,+\mathrm{\infty })$.

Пересечение этих двух промежутков $(-\mathrm{\infty },5)$ и $[-8,+\mathrm{\infty })$ — это промежуток $[-8,5)$.

Целые числа, которые лежат в промежутке $[-8,5)$, это $-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$.

Ответ: 13.

в) $\{\begin{array}{l}5-z<2\\ 4+z>7\end{array}$

Рассмотрим первое неравенство $5-z<2$. Чтобы решить его, вычтем 5 из обеих частей:

$$-z<2-5\Rightarrow -z<-3$$

Теперь умножим обе части неравенства на $-1$ (не забывая изменить знак неравенства):

$$z>3$$

Таким образом, первое неравенство $5-z<2$ приводит к решению $z>3$, то есть числовой промежуток для первого неравенства — $(3,+\mathrm{\infty })$.

Рассмотрим второе неравенство $4+z>7$. Чтобы решить его, вычтем 4 из обеих частей:

$$z>7-4\Rightarrow z>3$$

Таким образом, второе неравенство $4+z>7$ также приводит к решению $z>3$, то есть числовой промежуток для второго неравенства — $(3,+\mathrm{\infty })$.

Пересечение этих двух промежутков $(3,+\mathrm{\infty })$ и $(3,+\mathrm{\infty })$ — это промежуток $(3,+\mathrm{\infty })$.

Ответ: бесконечно много.

г) $\{\begin{array}{l}1+y⩽-3\\ y-2⩾-8\end{array}$

Рассмотрим первое неравенство $1+y⩽-3$. Чтобы решить его, вычтем 1 из обеих частей:

$$y⩽-3-1\Rightarrow y⩽-4$$

Таким образом, первое неравенство $1+y⩽-3$ приводит к решению $y⩽-4$, то есть числовой промежуток для первого неравенства — $(-\mathrm{\infty },-4]$.

Рассмотрим второе неравенство $y-2⩾-8$. Чтобы решить его, добавим 2 к обеим частям:

$$y⩾-8+2\Rightarrow y⩾-6$$

Таким образом, второе неравенство $y-2⩾-8$ приводит к решению $y⩾-6$, то есть числовой промежуток для второго неравенства — $[-6,+\mathrm{\infty })$.

Пересечение этих двух промежутков $(-\mathrm{\infty },-4]$ и $[-6,+\mathrm{\infty })$ — это промежуток $[-6,-4]$.

Целые числа, которые лежат в промежутке $[-6,-4]$, это $-6,-5,-4$.

Ответ: 3.

д) $\{\begin{array}{l}2x-1⩽-1\\ 2x-1⩾-6\end{array}$

Рассмотрим первое неравенство $2x-1⩽-1$. Чтобы решить его, добавим 1 к обеим частям:

$$2x⩽-1+1\Rightarrow 2x⩽0$$

Теперь разделим обе части неравенства на 2:

$$x⩽0$$

Таким образом, первое неравенство $2x-1⩽-1$ приводит к решению $x⩽0$, то есть числовой промежуток для первого неравенства — $(-\mathrm{\infty },0]$.

Рассмотрим второе неравенство $2x-1⩾-6$. Чтобы решить его, добавим 1 к обеим частям:

$$2x⩾-6+1\Rightarrow 2x⩾-5$$

Теперь разделим обе части неравенства на 2:

$$x⩾-2,5$$

Таким образом, второе неравенство $2x-1⩾-6$ приводит к решению $x⩾-2,5$, то есть числовой промежуток для второго неравенства — $[-2,5,+\mathrm{\infty })$.

Пересечение этих двух промежутков $(-\mathrm{\infty },0]$ и $[-2,5,+\mathrm{\infty })$ — это промежуток $[-2,5,0]$.

Целые числа, которые лежат в промежутке $[-2,5,0]$, это $-2,-1,0$.

Ответ: 3.

е) $\{\begin{array}{l}9-2z>11\\ 3z-4<5\end{array}$

Рассмотрим первое неравенство $9-2z>11$. Чтобы решить его, вычтем 9 из обеих частей:

$$-2z>11-9\Rightarrow -2z>2$$

Теперь разделим обе части на $-2$ (не забывая сменить знак неравенства):

$$z<-1$$

Таким образом, первое неравенство $9-2z>11$ приводит к решению $z<-1$, то есть числовой промежуток для первого неравенства — $(-\mathrm{\infty },-1)$.

Рассмотрим второе неравенство $3z-4<5$. Чтобы решить его, добавим 4 к обеим частям:

$$3z<5+4\Rightarrow 3z<9$$

Теперь разделим обе части на 3:

$$z<3$$

Таким образом, второе неравенство $3z-4<5$ приводит к решению $z<3$, то есть числовой промежуток для второго неравенства — $(-\mathrm{\infty },3)$.

Пересечение этих двух промежутков $(-\mathrm{\infty },-1)$ и $(-\mathrm{\infty },3)$ — это промежуток $(-\mathrm{\infty },-1)$.

Ответ: бесконечно много.