ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 717 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах.
Указание. Подставьте в формулу бинома Ньютона а = 1 и b = -1.

1) Формула бинома Ньютона: $(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \cdots + C_n^n b^n$;

2) Подставим коэффициенты $a = 1$ и $b = -1$: $(1 — 1)^n = C_n^0 — C_n^1 + C_n^2 — C_n^3 + \cdots + C_n^{n-1} \cdot (-1)^{n-1} + C_n^n \cdot (-1)^n$;

3) Если $n$ – четное число: $0 = C_n^0 — C_n^1 + C_n^2 — C_n^3 + \cdots — C_n^{n-1} + C_n^n$, $C_n^0 + C_n^2 + C_n^n = C_n^1 + C_n^3 + C_n^{n-1}$;

4) Если $n$ – нечетное число: $0 = C_n^0 — C_n^1 + C_n^2 — C_n^3 + \cdots + C_n^{n-1} — C_n^n$, $C_n^0 + C_n^2 + C_n^{n-1} = C_n^1 + C_n^3 + C_n^n$;

5) Во всех случаях сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, что и требовалось доказать.

1) Формула бинома Ньютона $(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \cdots + C_n^n b^n$, где каждый коэффициент $C_n^k$ вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, показатель степени при $a$ равен $n-k$, показатель степени при $b$ равен $k$, а сумма показателей в каждом слагаемом равна $n$. Формула даёт полное разложение степени суммы на многочлен, причём число слагаемых всегда равно $n+1$, коэффициенты расположены симметрично и соответствуют числам из треугольника Паскаля.

2) При подстановке $a = 1$ и $b = -1$ в формулу получаем $(1 — 1)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k \cdot 1^{\,n-k} \cdot (-1)^k$, что даёт $(1 — 1)^n = C_n^0 — C_n^1 + C_n^2 — C_n^3 + \cdots + C_n^{n-1} \cdot (-1)^{n-1} + C_n^n \cdot (-1)^n$. Здесь $1^{\,n-k} = 1$ при любом $k$, а множитель $(-1)^k$ чередует знаки слагаемых: при чётных $k$ знак «+», при нечётных $k$ знак «–». Так как $1 — 1 = 0$, левая часть тождества равна нулю, а значит сумма всех этих чередующихся членов равна нулю.

3) Если $n$ — чётное число, то $(-1)^n = 1$ и последний член $C_n^n$ имеет знак «+». В таком случае равенство принимает вид $0 = C_n^0 — C_n^1 + C_n^2 — C_n^3 + \cdots — C_n^{n-1} + C_n^n$. Группируем слагаемые по парам: чётные индексы $k = 0, 2, 4, \dots, n$ дают положительные члены, нечётные индексы $k = 1, 3, 5, \dots, n-1$ — отрицательные. При переносе отрицательных слагаемых вправо получаем $C_n^0 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = C_n^1 + C_n^3 + \cdots + C_n^{n-1}$, что означает равенство суммы коэффициентов на чётных местах сумме коэффициентов на нечётных местах.

4) Если $n$ — нечётное число, то $(-1)^n = -1$ и последний член $C_n^n$ имеет знак «–». В этом случае равенство принимает вид $0 = C_n^0 — C_n^1 + C_n^2 — C_n^3 + \cdots + C_n^{n-1} — C_n^n$. Здесь положительные члены соответствуют чётным индексам $k$, кроме последнего $k=n$, а отрицательные — нечётным и самому последнему члену. Переносим отрицательные члены вправо и получаем $C_n^0 + C_n^2 + \cdots + C_n^{n-1} = C_n^1 + C_n^3 + \cdots + C_n^n$, что также демонстрирует равенство сумм коэффициентов на чётных и нечётных позициях.

5) Таким образом, в обоих случаях — при чётных и нечётных $n$ — доказано, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечётных местах. Это свойство является прямым следствием подстановки $a=1$ и $b=-1$ в формулу бинома Ньютона и верно для любого натурального $n$.