ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 716 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде многочлена:
а) $(x+1{)}^5$;
б) $(2a+3{)}^4$;
в) $(a-b{)}^6$;
г) $(2-m{)}^7$;
д) $(x+2y{)}^5$;
е) $(2c-3m{)}^4$.

Формула бинома Ньютона: $(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+\cdots +C_n^n{b}^n$;

а) $(x+1{)}^5=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$;

б) $(2a+3{)}^4=(2a{)}^4+4\cdot (2a{)}^3\cdot 3+6\cdot (2a{)}^2\cdot 3^2+4\cdot 2a\cdot 3^3+3^4=16a^4+$

$96a^3+216a^2+216a+81$

в) $(a-b{)}^6=a^6-6a^{5}b+15a^4{b}^2-20a^3{b}^3+15a^2{b}^4-6a{b}^5+b^6$;

г) $(2-m{)}^7=2^7-7\cdot 2^6\cdot m+21\cdot 2^5\cdot m^2-35\cdot 2^4\cdot m^3+35\cdot 2^3\cdot m^4-21\cdot 2^2\cdot m^5+$

$7\cdot 2\cdot m^6-m^7=128-448m+672m^2-560m^3+280m^4-84m^5+14m^6-m^7$

д) $(x+2y{)}^5=x^5+5x^4\cdot 2y+10x^3\cdot (2y{)}^2+10x^2\cdot (2y{)}^3+5x\cdot (2y{)}^4+(2y{)}^5=x^5+$

$10x^{4}y+40x^3{y}^2+80x^2{y}^3+80x{y}^4+32y^5$

е) $(2c-3m{)}^4=(2c{)}^4+4\cdot (2c{)}^3\cdot (-3m)+6\cdot (2c{)}^2\cdot (-3m{)}^2+4\cdot 2c\cdot (-3m{)}^3+(-3m{)}^4=$

$16c^4-96c^{3}m+216c^2{m}^2-216c{m}^3+81m^4$

Формула бинома Ньютона $(u+v{)}^n={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{u}^{n-k}{v}^k$, где $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$; в каждом слагаемом степень при $u$ равна $n-k$, при $v$ равна $k$, сумма степеней равна $n$, коэффициенты симметричны $C_n^k=C_n^{n-k}$

а) $(x+1{)}^5$; применяем $u=x$, $v=1$, $n=5$, общий член $C_5^k{x}^{5-k}\cdot 1^k=C_5^k{x}^{5-k}$; вычисляем коэффициенты: $C_5^0=\frac{5!}{0!5!}=1$, $C_5^1=\frac{5!}{1!4!}=5$, $C_5^2=\frac{5!}{2!3!}=\frac{120}{12}=10$, $C_5^3=\frac{5!}{3!2!}=\frac{120}{12}=10$, $C_5^4=\frac{5!}{4!1!}=5$, $C_5^5=\frac{5!}{5!0!}=1$; собираем по $k=0,1,2,3,4,5$: $k=0\Rightarrow 1\cdot x^5$, $k=1\Rightarrow 5\cdot x^4$, $k=2\Rightarrow 10\cdot x^3$, $k=3\Rightarrow 10\cdot x^2$, $k=4\Rightarrow 5\cdot x$, $k=5\Rightarrow 1\cdot 1$; итог $(x+1{)}^5=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$

б) $(2a+3{)}^4$; берём $u=2a$, $v=3$, $n=4$, общий член $C_4^k(2a{)}^{4-k}{3}^k$; коэффициенты: $C_4^0=\frac{4!}{0!4!}=1$, $C_4^1=\frac{4!}{1!3!}=4$, $C_4^2=\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{4}=6$, $C_4^3=\frac{4!}{3!1!}=4$, $C_4^4=\frac{4!}{4!0!}=1$; последовательно упрощаем каждый член с учётом степеней числа 2 и 3: $k=0\Rightarrow 1\cdot (2a{)}^4\cdot 3^0=16a^4$, $k=1\Rightarrow 4\cdot (2a{)}^3\cdot 3^1=4\cdot 8a^3\cdot 3=96a^3$, $k=2\Rightarrow 6\cdot (2a{)}^2\cdot 3^2=6\cdot 4a^2\cdot 9=216a^2$, $k=3\Rightarrow 4\cdot (2a{)}^1\cdot 3^3=4\cdot 2a\cdot 27=216a$, $k=4\Rightarrow 1\cdot (2a{)}^0\cdot 3^4=81$; итог $(2a+3{)}^4=16a^4+96a^3+216a^2+216a+81$

в) $(a-b{)}^6$; представляем как $(a+(-b){)}^6$, то есть $u=a$, $v=-b$, $n=6$, общий член $C_6^k{a}^{6-k}(-b{)}^k=C_6^k(-1{)}^k{a}^{6-k}{b}^k$ даёт чередование знаков; коэффициенты: $C_6^0=1$, $C_6^1=6$, $C_6^2=\frac{6!}{2!4!}=\frac{720}{48}=15$, $C_6^3=\frac{6!}{3!3!}=\frac{720}{36}=20$, далее симметрия $C_6^4=15$, $C_6^5=6$, $C_6^6=1$; расписываем по $k$ с учётом $(-1{)}^k$: $k=0\Rightarrow +1\cdot a^6$, $k=1\Rightarrow -6\cdot a^{5}b$, $k=2\Rightarrow +15\cdot a^4{b}^2$, $k=3\Rightarrow -20\cdot a^3{b}^3$, $k=4\Rightarrow +15\cdot a^2{b}^4$, $k=5\Rightarrow -6\cdot a{b}^5$, $k=6\Rightarrow +1\cdot b^6$; итог $(a-b{)}^6=a^6-6a^{5}b+15a^4{b}^2-20a^3{b}^3+15a^2{b}^4-6a{b}^5+b^6$

г) $(2-m{)}^7$; это $(2+(-m){)}^7$, значит $u=2$, $v=-m$, $n=7$, общий член $C_7^k{2}^{7-k}(-m{)}^k=C_7^k(-1{)}^k{2}^{7-k}{m}^k$; коэффициенты: $C_7^0=1$, $C_7^1=7$, $C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2}=21$, $C_7^3=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=35$, симметрично $C_7^4=35$, $C_7^5=21$, $C_7^6=7$, $C_7^7=1$; учитываем $2^{7-k}$ и знак $(-1{)}^k$: $k=0\Rightarrow +1\cdot 2^7=128$, $k=1\Rightarrow -7\cdot 2^{6}m=-448m$, $k=2\Rightarrow +21\cdot 2^5{m}^2=672m^2$, $k=3\Rightarrow -35\cdot 2^4{m}^3=-560m^3$, $k=4\Rightarrow +35\cdot 2^3{m}^4=280m^4$, $k=5\Rightarrow -21\cdot 2^2{m}^5=-84m^5$, $k=6\Rightarrow +7\cdot 2^1{m}^6=14m^6$, $k=7\Rightarrow -1\cdot m^7=-m^7$; итог $(2-m{)}^7=128-448m+672m^2-560m^3+280m^4-84m^5+14m^6-m^7$

д) $(x+2y{)}^5$; берём $u=x$, $v=2y$, $n=5$, общий член $C_5^k{x}^{5-k}(2y{)}^k$; коэффициенты $C_5^k$ как в пункте а): $1,5,10,10,5,1$; расписываем, каждый раз учитывая $(2y{)}^k=2^k{y}^k$: $k=0\Rightarrow 1\cdot x^5$, $k=1\Rightarrow 5\cdot x^4\cdot 2y=10x^{4}y$, $k=2\Rightarrow 10\cdot x^3\cdot 4y^2=40x^3{y}^2$, $k=3\Rightarrow 10\cdot x^2\cdot 8y^3=80x^2{y}^3$, $k=4\Rightarrow 5\cdot x\cdot 16y^4=80x{y}^4$, $k=5\Rightarrow 1\cdot 32y^5=32y^5$; итог $(x+2y{)}^5=x^5+10x^{4}y+40x^3{y}^2+80x^2{y}^3+80x{y}^4+32y^5$

е) $(2c-3m{)}^4$; это $(2c+(-3m){)}^4$, значит $u=2c$, $v=-3m$, $n=4$, общий член $C_4^k(2c{)}^{4-k}(-3m{)}^k=C_4^k(-1{)}^k{2}^{4-k}{3}^k{c}^{4-k}{m}^k$; коэффициенты $C_4^k$ как в пункте б): $1,4,6,4,1$; по $k$: $k=0\Rightarrow +1\cdot (2c{)}^4=16c^4$, $k=1\Rightarrow -4\cdot (2c{)}^3\cdot 3m=-4\cdot 8c^3\cdot 3m=-96c^{3}m$, $k=2\Rightarrow +6\cdot (2c{)}^2\cdot 9m^2=+6\cdot 4c^2\cdot 9m^2=216c^2{m}^2$, $k=3\Rightarrow -4\cdot (2c)\cdot 27m^3=-4\cdot 2c\cdot 27m^3=-216c{m}^3$, $k=4\Rightarrow +1\cdot 81m^4=81m^4$; итог $(2c-3m{)}^4=16c^4-96c^{3}m+216c^2{m}^2-216c{m}^3+81m^4$