ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 715 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде многочлена:
а) $(a+b{)}^7$;
б) $(x+y{)}^8$;
в) $(b+c{)}^9$.

Формула бинома Ньютона:
$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+\cdots +C_n^n{b}^n$;

а) $(a+b{)}^7=a^7+7a^{6}b+21a^5{b}^2+35a^4{b}^3+$

$35a^3{b}^4+21a^2{b}^5+7a{b}^6+b^7$;

б) $(x+y{)}^8=x^8+8x^{7}y+28x^6{y}^2+56x^5{y}^3+70x^4{y}^4+$

$56x^3{y}^5+28x^2{y}^6+8x{y}^7+y^8$;

в) $(b+c{)}^9=b^9+9b^{8}c+36b^7{c}^2+84b^6{c}^3+126b^5{c}^4+$

$126b^4{c}^5+84b^3{c}^6+36b^2{c}^7+9b{c}^8+c^9$;

Формула бинома Ньютона $(a+b{)}^n={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, где для каждого члена $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, показатель при $a$ равен $n-k$, показатель при $b$ равен $k$, сумма показателей в каждом слагаемом равна $n$, члены идут по возрастанию степени $b$ и по убыванию степени $a$, коэффициенты симметричны по свойству $C_n^k=C_n^{n-k}$

а) для $(a+b{)}^7$ общий член равен $C_7^k{a}^{7-k}{b}^k$ при $k=0,1,2,3,4,5,6,7$; вычислим коэффициенты по формуле сочетаний: $C_7^0=\frac{7!}{0!7!}=1$, $C_7^1=\frac{7!}{1!6!}=7$, $C_7^2=\frac{7!}{2!5!}=\frac{7\cdot 6}{2}=21$, $C_7^3=\frac{7!}{3!4!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=35$; далее по симметрии $C_7^4=C_7^3=35$, $C_7^5=C_7^2=21$, $C_7^6=C_7^1=7$, $C_7^7=C_7^0=1$; выпишем по порядку, учитывая что при $k=0$ имеем $a^7{b}^0=a^7$, при каждом следующем $k$ степень $a$ уменьшается на 1, а степень $b$ увеличивается на 1: $(a+b{)}^7=1\cdot a^7+7\cdot a^6{b}^1+21\cdot a^5{b}^2+35\cdot a^4{b}^3+35\cdot a^3{b}^4+21\cdot a^2{b}^5+7\cdot a^1{b}^6+$

$1\cdot b^7$, что даёт ровно $(a+b{)}^7=a^7+7a^{6}b+21a^5{b}^2+35a^4{b}^3+35a^3{b}^4+21a^2{b}^5+7a{b}^6+b^7$

б) для $(x+y{)}^8$ общий член $C_8^k{x}^{8-k}{y}^k$ при $k=0,1,2,3,4,5,6,7,8$; вычислим коэффициенты: $C_8^0=1$, $C_8^1=8$, $C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2}=28$, $C_8^3=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=56$, $C_8^4=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=70$; далее симметрия даёт $C_8^5=56$, $C_8^6=28$, $C_8^7=8$, $C_8^8=1$; собираем члены в порядке возрастания степени $y$ и убывания степени $x$: $(x+y{)}^8=1\cdot x^8+8\cdot x^7{y}^1+28\cdot x^6{y}^2+56\cdot x^5{y}^3+70\cdot x^4{y}^4+56\cdot x^3{y}^5+28\cdot x^2{y}^6+$

$8\cdot x^1{y}^7+1\cdot y^8$, что даёт ровно $(x+y{)}^8=x^8+8x^{7}y+28x^6{y}^2+56x^5{y}^3+70x^4{y}^4+$

$56x^3{y}^5+28x^2{y}^6+8x{y}^7+y^8$

в) для $(b+c{)}^9$ общий член $C_9^k{b}^{9-k}{c}^k$ при $k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$; найдём коэффициенты: $C_9^0=1$, $C_9^1=9$, $C_9^2=\frac{9\cdot 8}{2}=36$, $C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}=84$, $C_9^4=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=126$; по симметрии имеем $C_9^5=126$, $C_9^6=84$, $C_9^7=36$, $C_9^8=9$, $C_9^9=1$; выписываем члены, контролируя сумму показателей $9-k+k=9$ и монотонное изменение степеней: $(b+c{)}^9=1\cdot b^9+9\cdot b^8{c}^1+36\cdot b^7{c}^2+84\cdot b^6{c}^3+126\cdot b^5{c}^4+126\cdot b^4{c}^5+84\cdot b^3{c}^6+$

$36\cdot b^2{c}^7+9\cdot b^1{c}^8+1\cdot c^9$, что даёт ровно $(b+c{)}^9=b^9+9b^{8}c+36b^7{c}^2+84b^6{c}^3+126b^5{c}^4+126b^4{c}^5+84b^3{c}^6+$

$36b^2{c}^7+9b{c}^8+c^9$