ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 711 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что сумма чисел строки с номером $n$ треугольника Паскаля равна $2^n$.
Указание. Можно доказать это разными способами:

1) воспользуйтесь результатом задачи 709;

2) подставьте в формулу бинома Ньютона $a = 1$ и $b = 1$.

1) Первый способ:
В задаче 709 мы доказали, что сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей строки, а так как первая строка состоит только из единицы (то есть $2^0$), то сумма чисел строки с номером $n$ равна $2^n$;

2) Второй способ:
Формула бинома Ньютона:
$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \cdots + C_n^n b^n$;
Подставим значения $a = 1$ и $b = 1$, тогда:
$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = (1 + 1)^n = 2^n$;
Что и требовалось доказать.

1) Первый способ:
В задаче 709 мы установили, что каждая следующая строка треугольника Паскаля строится так, что каждый её элемент является суммой двух элементов предыдущей строки, стоящих над ним. В результате, если суммировать все элементы строки с номером $n$, то каждый элемент предыдущей строки будет учитываться дважды при переходе к следующей строке, что приводит к увеличению суммы элементов в два раза по сравнению с предыдущей строкой. Первая строка (нулевая строка) треугольника Паскаля состоит из единственного элемента $1$, который можно записать как $2^0 = 1$. Следовательно, сумма элементов первой строки $S_0 = 1 = 2^0$. Применяя правило удвоения суммы для каждой следующей строки, получаем: сумма элементов строки с номером $1$ равна $2 \cdot S_0 = 2 \cdot 2^0 = 2^1$, сумма элементов строки с номером $2$ равна $2 \cdot S_1 = 2 \cdot 2^1 = 2^2$ и так далее. Обобщая для любой строки с номером $n$, получаем формулу: $S_n = 2^n$, что полностью соответствует свойствам треугольника Паскаля и закономерности удвоения суммы элементов каждой следующей строки.

2) Второй способ:
Для второго способа воспользуемся формулой бинома Ньютона, которая утверждает, что для любого натурального числа $n$ выполняется равенство:
$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \cdots + C_n^{n-1} a b^{n-1} + C_n^n b^n$,
где $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты, равные числу способов выбрать $k$ элементов из $n$, и именно эти коэффициенты составляют элементы строки с номером $n$ треугольника Паскаля. Подставим в формулу значения $a = 1$ и $b = 1$. В этом случае каждый член формулы превращается в $C_n^k \cdot 1^{n-k} \cdot 1^k = C_n^k$. Таким образом, сумма всех членов равна сумме всех биномиальных коэффициентов строки с номером $n$:
$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^{n-1} + C_n^n = (1 + 1)^n = 2^n$.
Таким образом, методика подстановки в формулу бинома Ньютона позволяет строго доказать, что сумма чисел строки с номером $n$ треугольника Паскаля всегда равна $2^n$, что полностью совпадает с результатом, полученным через анализ удвоения суммы элементов каждой следующей строки.

Итог: оба способа, первый через последовательное удвоение суммы элементов и второй через формулу бинома Ньютона с подстановкой $a = 1$ и $b = 1$, подтверждают одно и то же свойство треугольника Паскаля: сумма чисел строки с номером $n$ равна $2^n$.