ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 71 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Докажите, что периметр выпуклого четырёхугольника больше суммы длин его диагоналей.
б) Докажите, что периметр выпуклого пятиугольника больше полусуммы длин eгo диагоналей.

а) Отобразим условие задачи:

1)Обозначим стороны буквами $a, b, c, d$ и диагонали буквами $e, f$;

$P = a + b + c + d$ — периметр и $S = e + f$ — сумма диагоналей;

3)По неравенству треугольника:
$a + b > e$, $b + c > f$, $c + d > e$, $d + a > f$;

4)Почленно сложим все четыре неравенства:
$a + b + b + c + c + d + d + a > e + f + e + f$;
$2(a + b + c + d) > 2(e + f)$;
$a + b + c + d > e + f$;
$P > S$, что и требовалось доказать.

б) Отобразим условие задачи:

1)Обозначим стороны как $a, b, c, d, e$ и диагонали как $f, k, g, h, m$;

$P = a + b + c + d$ — периметр и $S = f + k + g + h + m$ — сумма диагоналей;

3)По неравенству треугольника:
$a + b > f$, $b + c > g$, $c + d > m$, $d + e > h$, $e + a > k$;

4)Почленно сложим все пять неравенств:
$a + b + b + c + c + d + d + e + e + a > f + g + m + h + k$;
$2(a + b + c + d + e) > f + g + m + h + k$;
$a + b + c + d + e \geq \frac{1}{2}(f + g + m + h + k)$;
$P > \frac{1}{2}S$, что и требовалось доказать.

а) Отобразим условие задачи:

1)Обозначим стороны буквами $a, b, c, d$ и диагонали буквами $e, f$.

2)Периметр $P$ и сумма диагоналей $S$ обозначены как:

$$P = a + b + c + d \quad \text{и} \quad S = e + f.$$

3)По неравенству треугольника:
Для всех сторон треугольников, образующих диагонали, выполняются следующие неравенства:

$$a + b > e, \quad b + c > f, \quad c + d > e, \quad d + a > f.$$

Эти неравенства следуют из того, что для каждой диагонали она должна быть меньше суммы двух смежных сторон треугольника.

4)Почленно сложим все четыре неравенства:

$$a + b + b + c + c + d + d + a > e + f + e + f.$$

После упрощения получаем:

$$2(a + b + c + d) > 2(e + f),$$

что также можно записать как:

$$a + b + c + d > e + f.$$

Таким образом, периметр $P$ больше суммы диагоналей $S$:

$$P > S,$$

что и требовалось доказать.

б) Отобразим условие задачи:

1)Обозначим стороны как $a, b, c, d, e$ и диагонали как $f, k, g, h, m$.

2)Периметр $P$ и сумма диагоналей $S$ обозначены как:

$$P = a + b + c + d \quad \text{и} \quad S = f + k + g + h + m.$$

3)По неравенству треугольника:
Для всех сторон и диагоналей треугольников, образующих диагонали, выполняются следующие неравенства:

$$a + b > f, \quad b + c > g, \quad c + d > m, \quad d + e > h, \quad e + a > k.$$

Эти неравенства следуют из того, что каждая диагональ меньше суммы двух смежных сторон треугольников.

4)Почленно сложим все пять неравенств:

$$a + b + b + c + c + d + d + e + e + a > f + g + m + h + k.$$

После упрощения получаем:

$$2(a + b + c + d + e) > f + g + m + h + k,$$

что также можно записать как:

$$a + b + c + d + e \geq \frac{1}{2}(f + g + m + h + k).$$

Таким образом, периметр $P$ больше половины суммы диагоналей $S$:

$$P > \frac{1}{2}S,$$

что и требовалось доказать.