ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 709 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Проверьте на примерах, что сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей строки. Объясните, почему так получается. (Вам может помочь схема на рис. 4.21.)

1) Сумма элементов треугольника Паскаля:
$1$ – в первой строке;
$1 + 1 = 2$ – во второй строке;
$1 + 2 + 1 = 4$ – в третьей строке;
$1 + 3 + 3 + 1 = 8$ – в четвертой строке;
$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$ – в пятой строке;
$1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$ – в шестой строке;
$1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64$ – в седьмой строке;
Действительно, сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей строки;

2) Рассмотрим две последовательные строки треугольника Паскаля:

1) Сумма элементов в строке с номером $n$:
$S_n = 1 + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + 1 = 2 + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}$;

2) Сумма элементов в строке с номером $n + 1$:
$S_{n+1}=1+(1+a_1)+(a_1+a_2)+\cdots +(a_{n-2}+a_{n-1})+(a_{n-1}+1)+1=$

$S_{n+1} = 1 + (1 + a_1) + (a_1 + a_2) + \cdots + (a_{n-2} + a_{n-1}) + (a_{n-1} + 1) + 1 = 4 + 2a_1 + 2a_2 + \cdots + 2a_{n-1} = 2 \cdot (2 + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}) = 2S_n$

1) Сумма элементов треугольника Паскаля:
В первой строке треугольника Паскаля находится только один элемент, равный единице. Таким образом, сумма элементов первой строки равна:
$1$.

Во второй строке находятся два элемента, оба равны единице. Сумма элементов второй строки вычисляется как:
$1 + 1 = 2$.

В третьей строке три элемента: 1, 2 и 1. Сумма элементов третьей строки вычисляется как:
$1 + 2 + 1 = 4$.

В четвертой строке четыре элемента: 1, 3, 3 и 1. Сумма элементов четвертой строки:
$1 + 3 + 3 + 1 = 8$.

В пятой строке пять элементов: 1, 4, 6, 4 и 1. Сумма элементов пятой строки равна:
$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$.

В шестой строке шесть элементов: 1, 5, 10, 10, 5 и 1. Сумма элементов шестой строки:
$1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$.

В седьмой строке семь элементов: 1, 6, 15, 20, 15, 6 и 1. Сумма элементов седьмой строки:
$1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64$.

Наблюдение: сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля в два раза больше суммы элементов предыдущей строки, что подтверждается последовательностью сумм: $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64$.

2) Рассмотрим две последовательные строки треугольника Паскаля более подробно:

a) Сумма элементов в строке с номером $n$ обозначается как $S_n$. Пусть элементы строки с номером $n$ расположены следующим образом:
$1, a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, 1$.

Тогда сумма элементов строки $n$ вычисляется как:
$S_n = 1 + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + 1$.

Сгруппируем единицы и оставшиеся элементы:
$S_n = 2 + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}$.

б) Сумма элементов строки с номером $n + 1$ обозначается как $S_{n+1}$.
Элементы строки $n + 1$ образуются суммированием смежных элементов предыдущей строки и добавлением единиц по краям:
$1, (1 + a_1), (a_1 + a_2), \ldots, (a_{n-2} + a_{n-1}), (a_{n-1} + 1), 1$.

Сумма элементов этой строки:
$S_{n+1} = 1 + (1 + a_1) + (a_1 + a_2) + \cdots + (a_{n-2} + a_{n-1}) + (a_{n-1} + 1) + 1$.

Сложим все подобные элементы:
$S_{n+1} = 1 + 1 + 1 + 1 + 2(a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}) = 4 + 2(a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1})$.

Вынесем общий множитель 2:
$S_{n+1} = 2 \cdot (2 + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1})$.

Так как $S_n = 2 + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}$, получаем:
$S_{n+1} = 2 \cdot S_n$.

Вывод: сумма элементов каждой следующей строки треугольника Паскаля всегда в два раза больше суммы элементов предыдущей строки, что подтверждает закономерность роста сумм.