ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 707 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Дан квадрат со стороной 1. Середины сторон этого квадрата соединены отрезками, и получен новый квадрат. В новый квадрат аналогичным способом вписан ещё один квадрат и т. д. (так, как это сделано на рисунке 4.15 на с. 256). Докажите, что сумма площадей получающихся в результате этой процедуры квадратов равна площади исходного квадрата.
б) В равносторонний треугольник со стороной 1 вписан треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и т. д. Найдите сумму периметров бесконечной последовательности полученных вписанных треугольников.

1) Квадраты являются параллелограммами, значит их площадь равна половине произведения диагоналей;

2) Сторона первого квадрата равна 1, значит его площадь составляет:
$S_1 = 1^2 = 1$;

3) Диагонали второго квадрата равны сторонам первого, значит его площадь составляет:
$a_1 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = 0,5 = \frac{1}{2} S_1$;

4) Стороны третьего квадрата равны половине диагоналей второго (как средние линии треугольников, отсекаемых от него диагональю), значит площадь этого квадрата равна:
$a_2 = \left( \frac{1}{2} \cdot 1 \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,5 = \frac{1}{2} a_1$;

5) Для последующих фигур рассуждения аналогичны;

6) Имеем геометрическую прогрессию, в которой:
$a_1 = \frac{1}{2}$ и $q = \frac{1}{2}$;

7) Сумма площадей всех квадратов кроме первого:
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{1}{2}}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 = S_1$, что и требовалось доказать.

б)

1) Периметр первого треугольника: $P_1 = 1 + 1 + 1 = 3$;

2) Стороны каждого треугольника, начиная со второго, являются средними линиями предыдущего, значит их периметр равен половине периметра предыдущего треугольника;

3) Имеем геометрическую прогрессию, в которой:
$b_1 = \frac{1}{2} \cdot P_1 = \frac{3}{2}$ и $q = \frac{1}{2}$;

4) Сумма периметров всех треугольников, кроме первого:
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{3}{2}}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot 2 = \frac{6}{2} = 3$;

1) Квадраты являются параллелограммами, а это значит, что их площадь может быть выражена через диагонали. Площадь квадрата равна половине произведения диагоналей, так как для любого параллелограмма $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали.

2) Сторона первого квадрата равна 1, поэтому его площадь вычисляется по формуле площади квадрата $S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата:
$S_1 = 1^2 = 1$. Это базовый квадрат, от которого будем отталкиваться для вычислений последующих площадей.

3) Диагонали второго квадрата равны сторонам первого квадрата, следовательно, его площадь вычисляется как половина произведения диагоналей:
$a_1 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = 0,5 = \frac{1}{2} S_1$. Здесь мы явно видим, что площадь второго квадрата составляет половину площади первого.

4) Стороны третьего квадрата равны половине диагоналей второго квадрата. Это следует из того, что диагональ квадрата разбивает его на два равных прямоугольных треугольника, и средние линии этих треугольников равны половине диагонали квадрата:
$a_2 = \left( \frac{1}{2} \cdot 1 \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,5 = \frac{1}{2} a_1$. Здесь шаг за шагом видно, что каждый последующий квадрат имеет площадь, в два раза меньшую, чем предыдущий.

5) Для последующих фигур рассуждения аналогичны: каждый следующий квадрат строится на основе половины диагонали предыдущего, что приводит к уменьшению площади в геометрической прогрессии.

6) Таким образом, площади квадратов образуют геометрическую прогрессию, где первый член равен $a_1 = \frac{1}{2}$ и знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$. Это значит, что каждый следующий член прогрессии равен половине предыдущего.

7) Сумма площадей всех квадратов, начиная со второго (то есть кроме первого), вычисляется по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{1}{2}}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 = S_1$. Это полностью подтверждает, что сумма площадей всех последующих квадратов равна площади первого квадрата, что и требовалось доказать.

б)

1) Периметр первого треугольника равен сумме его сторон:
$P_1 = 1 + 1 + 1 = 3$.

2) Стороны каждого последующего треугольника являются средними линиями предыдущего треугольника. Средняя линия треугольника равна половине стороны, поэтому периметр каждого следующего треугольника равен половине периметра предыдущего.

3) Таким образом, периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию с первым членом:
$b_1 = \frac{1}{2} \cdot P_1 = \frac{3}{2}$ и знаменателем прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

4) Сумма периметров всех треугольников, начиная со второго (то есть кроме первого), вычисляется по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{3}{2}}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot 2 = \frac{6}{2} = 3$. Это показывает, что сумма периметров всех последующих треугольников равна периметру первого треугольника.