ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 706 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде обыкновенной дроби: а) 0,(7); б) 0,(12); в) 0,1(3).

$0,(7) = 0,7777 … = 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,0007 + \cdots$

$b_1 = 0,7$ и $q = \frac{0,07}{0,7} = \frac{7}{70} = 0,1$;

$|q| < 1$ – бесконечно убывающая последовательность:

$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,7}{1 — 0,1} = \frac{0,7}{0,9} = \frac{7}{9}$;

Ответ: $0,(7) = \frac{7}{9}$.

б) $0,(12) = 0,1212 … = 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + \cdots$

$b_1 = 0,12$ и $q = \frac{0,0012}{0,12} = \frac{12}{1200} = 0,01$;

$|q| < 1$ – бесконечно убывающая последовательность:

$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,12}{1 — 0,01} = \frac{0,12}{0,99} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$;

Ответ: $0,(12) = \frac{4}{33}$.

в) $0,1(3) = 0,13333 … = 0,1 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + \cdots$

$b_1 = 0,03$ и $q = \frac{0,003}{0,03} = \frac{3}{30} = 0,1$;

$|q| < 1$ – бесконечно убывающая последовательность:

$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,03}{1 — 0,1} = \frac{0,03}{0,9} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$;

$0,1 + \frac{1}{30} = \frac{1}{10} + \frac{1}{30} = \frac{3 + 1}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$;

Ответ: $0,1(3) = \frac{2}{15}$.

$0,(7) = 0,7777 … = 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,0007 + \cdots$

В данной последовательности каждая последующая дробь получается умножением предыдущей на $0,1$, поэтому мы имеем геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = 0,7$ и знаменателем прогрессии $q = \frac{0,07}{0,7} = 0,1$.

Так как $|q| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем найти её сумму по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,7}{1 — 0,1} = \frac{0,7}{0,9} = \frac{7}{9}$.

Ответ: $0,(7) = \frac{7}{9}$.

б) $0,(12) = 0,1212 … = 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + \cdots$

Каждый следующий член этой последовательности получается умножением предыдущего на $0,01$, следовательно, имеем геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = 0,12$ и знаменателем $q = \frac{0,0012}{0,12} = 0,01$.

Так как $|q| < 1$, прогрессия бесконечно убывающая, её сумма вычисляется по формуле:
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,12}{1 — 0,01} = \frac{0,12}{0,99} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$.

Ответ: $0,(12) = \frac{4}{33}$.

в) $0,1(3) = 0,13333 … = 0,1 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + \cdots$

Разобьём на первую дробь $0,1$ и бесконечно убывающую геометрическую прогрессию $0,03 + 0,003 + 0,0003 + \cdots$ с первым членом $b_1 = 0,03$ и знаменателем $q = \frac{0,003}{0,03} = 0,1$.

Сумма этой бесконечной прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,03}{1 — 0,1} = \frac{0,03}{0,9} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$.

Добавим к первой дроби:
$0,1 + \frac{1}{30} = \frac{1}{10} + \frac{1}{30} = \frac{3 + 1}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$.

Ответ: $0,1(3) = \frac{2}{15}$.