ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 704 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Воспользовавшись выведенной формулой, найдите сумму:

а) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 20^2$;

б) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 45^2$.

а) Прогрессия: $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; \ldots$
$b_1 = \frac{1}{2}$ и $q = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$;
$|q| < 1$ — бесконечно убывающая:
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{1}{2}}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1;$

б) Прогрессия: $5^{-1}; 5^0; 5^1; 5^2; \ldots$
$b_1 = 5^{-1} = \frac{1}{5}$ и $q = \frac{5^1}{5^0} = 5$;
$|q| > 1$ — не убывающая;

в) Прогрессия: $5^2; 5^1; 5^0; 5^{-1}; \ldots$
$b_1 = 5^2 = 25$ и $q = \frac{5^1}{5^2} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$;
$|q| < 1$ — бесконечно убывающая:
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{25}{1 — \frac{1}{5}} = \frac{25}{\frac{4}{5}} = 25 \cdot \frac{5}{4} = \frac{125}{4} = 31 \frac{1}{4};$

г) Прогрессия: $1; \frac{3}{2}; \frac{9}{4}; \frac{27}{8}; \ldots$
$b_1 = 1$ и $q = \frac{\frac{3}{2}}{1} = \frac{3}{2}$;
$|q| > 1$ — не убывающая;

а) Прогрессия: $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; \ldots$
Первый член прогрессии равен $b_1 = \frac{1}{2}$. Знаменатель прогрессии вычисляется как отношение второго члена к первому: $q = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$. Так как $|q| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 — q}$. Подставляем значения: $S = \frac{\frac{1}{2}}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

б) Прогрессия: $5^{-1}; 5^0; 5^1; 5^2; \ldots$
Первый член равен $b_1 = 5^{-1} = \frac{1}{5}$, знаменатель прогрессии $q = \frac{5^1}{5^0} = 5$. Поскольку $|q| = 5 > 1$, прогрессия не является убывающей и бесконечная сумма не существует.

в) Прогрессия: $5^2; 5^1; 5^0; 5^{-1}; \ldots$
Первый член $b_1 = 5^2 = 25$, знаменатель прогрессии $q = \frac{5^1}{5^2} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$. Так как $|q| = \frac{1}{5} < 1$, прогрессия бесконечно убывающая и сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{25}{1 — \frac{1}{5}} = \frac{25}{\frac{4}{5}} = 25 \cdot \frac{5}{4} = \frac{125}{4} = 31 \frac{1}{4}$.

г) Прогрессия: $1; \frac{3}{2}; \frac{9}{4}; \frac{27}{8}; \ldots$
Первый член равен $b_1 = 1$, знаменатель прогрессии $q = \frac{\frac{3}{2}}{1} = \frac{3}{2}$. Так как $|q| = \frac{3}{2} > 1$, прогрессия не является убывающей и бесконечная сумма не существует.