ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 702 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

После окончания университета дипломник имеет возможность получить одну из двух работ. На одной из них его годовой заработок в первый год составит 150 000 р., а затем ежегодно будет увеличиваться на 15% от этой суммы. На второй работе в первый год его заработок составит 100 000 р. и затем ежегодно к нему будет добавляться 20% от предыдущего заработка.
а) Выпишите планируемый заработок в первый, второй и третий годы на каждой из этих работ.
б) На какой по счёту год заработок на второй работе превзойдёт заработок на первой работе?
в) Предположим, что дипломник планирует работать в одном месте не менее 10 лет. На какой из этих работ его суммарный заработок будет больше?

а)
Заработок на первой работе:

$150 \, 000 \, (\text{руб}) — \text{за первый год};$

$150 \, 000 + 150 \, 000 \cdot 0,15 = 172 \, 500 \, (\text{руб}) — \text{за второй год};$

$172 \, 500 + 150 \, 000 \cdot 0,15 = 195 \, 000 \, (\text{руб}) — \text{за третий год};$

Заработок на второй работе:

$100 \, 000 \, (\text{руб}) — \text{за первый год};$

$100 \, 000 + 100 \, 000 \cdot 0,2 = 120 \, 000 \, (\text{руб}) — \text{за второй год};$

$120 \, 000 + 120 \, 000 \cdot 0,2 = 144 \, 000 \, (\text{руб}) — \text{за второй год};$

б)
Годовой заработок на первой работе через $n$ лет:

$a_1 = 150 \, 000 \quad \text{и} \quad d = 150 \, 000 \cdot 0,15 = 22 \, 500;$

$a_n = a_1 + d(n — 1);$

$a_n = 150 \, 000 + 22 \, 500n — 22 \, 500 = 127 \, 500 + 22 \, 500n;$

$a_4 = 127 \, 500 + 22 \, 500 \cdot 4 = 217 \, 500 \, (\text{руб});$

$a_5 = 127 \, 500 + 22 \, 500 \cdot 5 = 240 \, 000 \, (\text{руб});$

$a_6 = 127 \, 500 + 22 \, 500 \cdot 6 = 262 \, 500 \, (\text{руб});$

$a_7 = 127 \, 500 + 22 \, 500 \cdot 7 = 285 \, 000 \, (\text{руб});$

Годовой заработок на второй работе через $n$ лет:

$b_1 = 100 \, 000 \quad \text{и} \quad q = 120\% = 1,2;$

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 100 \, 000 \cdot 1,2^{n-1};$

$b_4 = 100 \, 000 \cdot 1,2^3 = 172 \, 800 \, (\text{руб});$

$b_5 = 100 \, 000 \cdot 1,2^4 = 207 \, 360 \, (\text{руб});$

$b_7 = 100 \, 000 \cdot 1,2^6 = 298 \, 598 \, (\text{руб});$

Ответ: на седьмой год.

в)
Суммарный доход за десять лет на первой работе:

$S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = (2a_1 + 9d) \cdot 5;$

$S_{10} = 2 \cdot 150 \, 000 + 9 \cdot 22 \, 500 \cdot 5 = 502 \, 500 \cdot 5 = 2 \, 512 \, 500 \, (\text{руб});$

Суммарный доход за десять лет на второй работе:

$S_{10} = \frac{b_1 \cdot (q^{10} — 1)}{q — 1};$

$S_{10} = 100 \, 000 \cdot \frac{1,2^{10} — 1}{1,2 — 1} \approx 100 \, 000 \cdot \frac{5,1917}{0,2} = 2 \, 595 \, 850 \, (\text{руб});$

Ответ: на второй работе.

а)
Заработок на первой работе:

Сначала определяем доход за первый год. Так как ставка равна 15 %, а базовый годовой доход $150 \, 000 \, (\text{руб})$, то прибавка составит:

$150 \, 000 \cdot 0,15 = 22 \, 500 \, (\text{руб})$.

Таким образом, доход за первый год равен:

$a_1 = 150 \, 000 \, (\text{руб})$.

Доход за второй год складывается из предыдущего дохода и процентной прибавки от базового дохода:

$a_2 = 150 \, 000 + 22 \, 500 = 172 \, 500 \, (\text{руб})$.

Доход за третий год:

$a_3 = 172 \, 500 + 22 \, 500 = 195 \, 000 \, (\text{руб})$.

Заработок на второй работе:

Базовый доход $100 \, 000 \, (\text{руб})$, процентная ставка 20 %. Доход за первый год:

$b_1 = 100 \, 000 \, (\text{руб})$.

Доход за второй год:

$b_2 = 100 \, 000 + 100 \, 000 \cdot 0,2 = 100 \, 000 + 20 \, 000 = 120 \, 000 \, (\text{руб})$.

Доход за третий год:

$b_3 = 120 \, 000 + 120 \, 000 \cdot 0,2 = 120 \, 000 + 24 \, 000 = 144 \, 000 \, (\text{руб})$.

б)
Годовой доход на первой работе через $n$ лет:

Базовый доход $a_1 = 150 \, 000 \, (\text{руб})$, годовая прибавка $d = 22 \, 500 \, (\text{руб})$. Формула арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n — 1)$.

Подставляем данные:

$a_n = 150 \, 000 + 22 \, 500(n — 1) = 150 \, 000 + 22 \, 500 n — 22 \, 500 = 127 \, 500 + 22 \, 500 n$.

Вычисляем конкретные значения:

$a_4 = 127 \, 500 + 22 \, 500 \cdot 4 = 127 \, 500 + 90 \, 000 = 217 \, 500 \, (\text{руб})$,

$a_5 = 127 \, 500 + 22 \, 500 \cdot 5 = 127 \, 500 + 112 \, 500 = 240 \, 000 \, (\text{руб})$,

$a_6 = 127 \, 500 + 22 \, 500 \cdot 6 = 127 \, 500 + 135 \, 000 = 262 \, 500 \, (\text{руб})$,

$a_7 = 127 \, 500 + 22 \, 500 \cdot 7 = 127 \, 500 + 157 \, 500 = 285 \, 000 \, (\text{руб})$.

Годовой доход на второй работе через $n$ лет:

Базовый доход $b_1 = 100 \, 000 \, (\text{руб})$, коэффициент роста $q = 1,2$ (20 %). Формула геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Вычисляем конкретные значения:

$b_4 = 100 \, 000 \cdot 1,2^3 = 100 \, 000 \cdot 1,728 = 172 \, 800 \, (\text{руб})$,

$b_5 = 100 \, 000 \cdot 1,2^4 = 100 \, 000 \cdot 2,0736 = 207 \, 360 \, (\text{руб})$,

$b_7 = 100 \, 000 \cdot 1,2^6 = 100 \, 000 \cdot 2,985984 \approx 298 \, 598 \, (\text{руб})$.

Ответ: на седьмой год.

в)
Суммарный доход за десять лет на первой работе:

Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = (2a_1 + 9d) \cdot 5$.

Подставляем значения:

$2 \cdot 150 \, 000 + 9 \cdot 22 \, 500 = 300 \, 000 + 202 \, 500 = 502 \, 500$,

умножаем на 5: $S_{10} = 502 \, 500 \cdot 5 = 2 \, 512 \, 500 \, (\text{руб})$.

Суммарный доход за десять лет на второй работе:

Используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_{10} = \frac{b_1 \cdot (q^{10} — 1)}{q — 1}$.

Подставляем значения:

$S_{10} = 100 \, 000 \cdot \frac{1,2^{10} — 1}{0,2} \approx 100 \, 000 \cdot \frac{6,1917364224 — 1}{0,2} \approx 100 \, 000 \cdot \frac{5,1917}{0,2} \approx 2 \, 595 \, 850 \, (\text{руб})$.

Ответ: на второй работе.