ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 699 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Виктор вложил на десять лет по 5000 р. на два разных счёта — с 10% годовых и 20% годовых.
а) Каким будет доход по каждому из этих счетов через год? Во сколько раз доход по второму вкладу будет больше дохода по первому вкладу?
б) Каким будет доход по каждому из этих счетов за четвёртый год? Во сколько раз доход по второму вкладу больше, чем по первому?
Как вы думаете, будет ли отношение ежегодных доходов по этим вкладам увеличиваться с течением времени и почему?

а)
Доход по первому вкладу через год:
$5000 \cdot 0,1 = 500 \, (\text{руб});$
Доход по второму вкладу через год:
$5000 \cdot 0,2 = 1000 \, (\text{руб});$
Отношение доходов:
$\frac{1000}{500} = 2;$
Ответ: в 2 раза.

б)
По первому вкладу:
$5000 \cdot 1,1^3 = 5000 \cdot 1,331 = 6655 \, (\text{руб}) — \text{сумма на счете через 3 года};$
$6655 \cdot 0,1 = 665,5 \, (\text{руб}) — \text{доход за четвертый год};$
По второму вкладу:
$5000 \cdot 1,2^3 = 5000 \cdot 1,728 = 8640 \, (\text{руб}) — \text{сумма на счете через 3 года};$
$8640 \cdot 0,2 = 1728 \, (\text{руб}) — \text{доход за четвертый год};$
Отношение доходов:
$\frac{1728}{665,5} \approx 2,59;$
Ответ: в ≈ 2,59 раза.

в)
Доход за $n$-ый год по первому вкладу:
$a_n = 5000 \cdot 1,1^n \cdot 0,1 = 500 \cdot 1,1^n;$
Доход за $n$-ый год по второму вкладу:
$b_n = 5000 \cdot 1,2^n \cdot 0,2 = 1000 \cdot 1,2^n;$
Отношение доходов:
$\frac{b_n}{a_n} = \frac{1000 \cdot 1,2^n}{500 \cdot 1,1^n} = 2 \cdot \frac{1,2^n}{1,1^n};$
Отношение будет увеличиваться, так как увеличивается число $n$;
Ответ: будет.

а)
Доход по первому вкладу через год вычисляется по формуле простого процентного дохода: умножаем первоначальную сумму вклада на годовую процентную ставку. Здесь первоначальная сумма вклада $5000$ рублей, процентная ставка $0,1$ (что соответствует 10 %):
$5000 \cdot 0,1 = 500 \, (\text{руб});$
Это показывает, что за первый год первый вклад принесет доход 500 рублей.

Доход по второму вкладу через год аналогично рассчитывается как произведение суммы вклада на процентную ставку:
$5000 \cdot 0,2 = 1000 \, (\text{руб});$
Это означает, что второй вклад за первый год принесет доход 1000 рублей, так как ставка выше — 20 %.

Отношение доходов первого и второго вклада на первый год определяем как частное дохода второго вклада и дохода первого вклада:
$\frac{1000}{500} = 2;$
То есть доход второго вклада в 2 раза больше дохода первого.

б)
Для расчета дохода за четвертый год необходимо сначала определить сумму на счетах после трех лет начислений сложных процентов.

По первому вкладу: сумма на счете через 3 года:
$5000 \cdot 1,1^3 = 5000 \cdot 1,331 = 6655 \, (\text{руб});$
Здесь 1,1 — это коэффициент, соответствующий 10 % годовых, возведенный в третью степень, чтобы учесть сложные проценты за три года.

Доход за четвертый год по первому вкладу:
$6655 \cdot 0,1 = 665,5 \, (\text{руб});$
Это процент от суммы после трех лет, начисленный за четвертый год.

По второму вкладу: сумма на счете через 3 года:
$5000 \cdot 1,2^3 = 5000 \cdot 1,728 = 8640 \, (\text{руб});$
Здесь коэффициент 1,2 соответствует 20 % годовых, возведенный в третью степень.

Доход за четвертый год по второму вкладу:
$8640 \cdot 0,2 = 1728 \, (\text{руб});$
Это процент за четвертый год, рассчитанный от накопленной суммы.

Отношение доходов за четвертый год:
$\frac{1728}{665,5} \approx 2,59;$
То есть доход второго вклада за четвертый год примерно в 2,59 раза превышает доход первого.

в)
Для общего $n$-го года доход по первому вкладу рассчитывается по формуле:
$a_n = 5000 \cdot 1,1^n \cdot 0,1 = 500 \cdot 1,1^n;$
Здесь $n$ — номер года, 1,1 — коэффициент роста капитала с учетом 10 % годовых, 0,1 — процентная ставка.

Доход по второму вкладу за $n$-й год:
$b_n = 5000 \cdot 1,2^n \cdot 0,2 = 1000 \cdot 1,2^n;$
Здесь аналогично, 1,2 — коэффициент роста капитала при 20 % годовых.

Отношение доходов второго и первого вклада в $n$-й год:
$\frac{b_n}{a_n} = \frac{1000 \cdot 1,2^n}{500 \cdot 1,1^n} = 2 \cdot \frac{1,2^n}{1,1^n};$
Так как $1,2^n / 1,1^n = (1,2/1,1)^n > 1$ для любого положительного $n$, отношение доходов будет увеличиваться с ростом $n$.

Следовательно, доход второго вклада за каждый последующий год будет возрастать относительно дохода первого вклада, и отношение будет постоянно увеличиваться.
Ответ: будет.