ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 683 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) $100 + 100x + 100x^2 + 100x^3 + 100x^4$ при $x = 1,1$;

б) $10 — 10x + 10x^2 — 10x^3 + 10x^4 — 10x^5$ при $x = 0,3$.

$100 + 100x + 100x^2 + 100x^3 + 100x^4$:

1) Дана геометрическая прогрессия:

$$b_1 = 100, \quad b_5 = 100x^4 \quad \text{и} \quad q = \frac{100x}{100} = x;$$ $$S_5 = \frac{b_1 \cdot (q^5 — 1)}{q — 1} = \frac{100 \cdot (x^5 — 1)}{x — 1} = 100 \cdot \frac{x^5 — 1}{x — 1};$$

2) При $x = 1,1$:

$$100 \cdot \frac{1,1^5 — 1}{1,1 — 1} = 100 \cdot \frac{1,61051 — 1}{0,1} = 1000 \cdot 0,61051 = 610,51;$$

б) $10 — 10x + 10x^2 — 10x^3 + 10x^4 — 10x^5$:

1) Дана геометрическая прогрессия:

$$b_1 = 10, \quad b_6 = -10x^5 \quad \text{и} \quad q = \frac{-10x}{10} = -x;$$ $$S_6 = \frac{b_1 \cdot (1 — q^6)}{1 — q} = 10 \cdot \frac{1 — (-x)^6}{1 + x} = 10 \cdot \frac{1 — x^6}{1 + x};$$

2) При $x = 0,3$:

$$10 \cdot \frac{1 — 0,3^6}{1 + 0,3} = 10 \cdot \frac{1 — 0,000729}{1,3} = 10 \cdot \frac{0,999271}{1,3} = 7,6867;$$

$100 + 100x + 100x^2 + 100x^3 + 100x^4$:

Данное выражение можно интерпретировать как сумму членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 100$, а знаменатель прогрессии $q = x$. В случае геометрической прогрессии сумма первых $n$ членов $S_n$ вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}.$$

Для данной задачи нам нужно найти сумму первых 5 членов прогрессии (с 1 по 5 включительно), то есть $n = 5$. Подставляем в формулу:

$$S_5 = \frac{100 \cdot (x^5 — 1)}{x — 1}.$$

При $x = 1,1$ подставляем это значение в полученную формулу:

$$S_5 = \frac{100 \cdot \left( (1,1)^5 — 1 \right)}{1,1 — 1}.$$

Рассчитаем степень $(1,1)^5$:

$$(1,1)^5 = 1,61051,$$

следовательно, выражение для суммы будет выглядеть так:

$$S_5 = \frac{100 \cdot \left( 1,61051 — 1 \right)}{0,1} = \frac{100 \cdot 0,61051}{0,1}.$$

Умножаем:

$$S_5 = 1000 \cdot 0,61051 = 610,51.$$

$10 — 10x + 10x^2 — 10x^3 + 10x^4 — 10x^5$:

Это выражение также представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, но с чередующимися знаками. Первый член прогрессии $b_1 = 10$, а знаменатель прогрессии $q = -x$ (так как каждый следующий множитель $-x$ умножается на предыдущий). Для геометрической прогрессии сумма первых $n$ членов $S_n$ вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (1 — q^n)}{1 — q}.$$

Подставляем в формулу для суммы первых 6 членов:

$$S_6 = \frac{10 \cdot (1 — (-x)^6)}{1 + x}.$$

При $x = 0,3$ подставляем это значение в полученную формулу:

$$S_6 = \frac{10 \cdot (1 — (-0,3)^6)}{1 + 0,3}.$$

Сначала вычислим степень $(-0,3)^6$:

$$(-0,3)^6 = 0,000729,$$

тогда выражение для суммы будет:

$$S_6 = \frac{10 \cdot (1 — 0,000729)}{1,3} = \frac{10 \cdot 0,999271}{1,3}.$$

Умножаем:

$$S_6 = \frac{9,99271}{1,3} = 7,6867.$$