ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 682 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \ldots + x^{50}$, где $x \neq 0$ и $x \neq 1$;

б) $x + 2x + 3x + 4x + 5x + \ldots + 100x$;

в) $x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + x^{10} + \ldots + x^{100}$, где $x \neq 0$ и $x \neq \pm 1$;

г) $x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot x^4 \cdot x^5 \cdot \ldots \cdot x^{50}$.

$x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{50}$, где $x \neq 0$ и $x \neq 1$:
Данная геометрическая прогрессия:

$$b_1=x\text{и}q=\frac{x^2}{x}=x;$$

$$b_1 = x \quad \text{и} \quad q = \frac{x^2}{x} = x;$$ $$b_n=b_1\cdot q^{n-1}=x\cdot x^{n-1}=x^n;$$

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = x \cdot x^{n-1} = x^n;$$ $$x\cdot q^{n-1}=x\cdot x^{49};$$

$$x \cdot q^{n-1} = x \cdot x^{49};$$ $$n-1=49,\text{ отсюда }n=50;$$

$$n — 1 = 49, \text{ отсюда } n = 50;$$ $$S_{50} = \frac{b_1 \cdot (q^{50} — 1)}{q — 1} = \frac{x \cdot (x^{50} — 1)}{x — 1} = \frac{x^{51} — x}{x — 1};$$

б) $x + 2x + 3x + 4x + 5x + \cdots + 100x$:
Данная арифметическая прогрессия:

$$a_1=x\text{и}d=2x-x=x;$$

$$a_1 = x \quad \text{и} \quad d = 2x — x = x;$$ $$a_n=a_1+d(n-1)=100x;$$

$$a_n = a_1 + d(n — 1) = 100x;$$ $$x+x(n-1)=100x;$$

$$x + x(n — 1) = 100x;$$ $$xn=100x,\text{ отсюда }n=100;$$

$$xn = 100x, \text{ отсюда } n = 100;$$ $$S_{100} = \frac{a_1 + a_{100}}{2} \cdot 100 = (x + 100x) \cdot 50 = 5050x;$$

в) $x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + x^{10} + \cdots + x^{100}$, где $x \neq 0$ и $x \neq \pm 1$:
Данная геометрическая прогрессия:

$$b_1=x^2\text{и}q=\frac{x^4}{x^2}=x^2;$$

$$b_1 = x^2 \quad \text{и} \quad q = \frac{x^4}{x^2} = x^2;$$ $$b_n=b_1\cdot q^{n-1}=x^{100};$$

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = x^{100};$$ $$x^2\cdot x^{2(n-1)}=x^2\cdot x^{98};$$

$$x^2 \cdot x^{2(n-1)} = x^2 \cdot x^{98};$$ $$2(n-1)=98,\text{ отсюда }n=50;$$

$$2(n — 1) = 98, \text{ отсюда } n = 50;$$ $$S_{50} = \frac{b_1 \cdot (q^{50} — 1)}{q — 1} = \frac{x^2 \cdot (x^{2 \cdot 50} — 1)}{x^2 — 1} = \frac{x^{200} — x^2}{x^2 — 1};$$

г) $x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot x^4 \cdot x^5 \cdot \ldots \cdot x^{50}$:
Степень числа $x$, полученная при умножении:

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + 50;$$

Является арифметической прогрессией:

$$a_1=1\text{и}d=2-1=1;$$

$$a_1 = 1 \quad \text{и} \quad d = 2 — 1 = 1;$$ $$a_n=a_1+d(n-1)=50;$$

$$a_n = a_1 + d(n — 1) = 50;$$ $$1+n-1=50,\text{ отсюда }n=50;$$

$$1 + n — 1 = 50, \text{ отсюда } n = 50;$$ $$S_{50} = \frac{a_1 + a_{50}}{2} \cdot 50 = (1 + 50) \cdot 25 = 1275;$$

Значит, искомое выражение: $x^{1275}$.

$x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{50}$, где $x \neq 0$ и $x \neq 1$:

Это выражение представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = x$, а знаменатель прогрессии $q = x$. Для геометрической прогрессии сумма $S_n$ первых $n$ членов вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}.$$

Подставляем известные значения:

$$b_1 = x, \quad q = x, \quad n = 50.$$

Получаем:

$$S_{50} = \frac{x \cdot (x^{50} — 1)}{x — 1}.$$

Упростим результат:

$$S_{50} = \frac{x^{51} — x}{x — 1}.$$

б) $x + 2x + 3x + 4x + 5x + \cdots + 100x$:

Это выражение представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1 = x$, а разность прогрессии $d = x$. Для арифметической прогрессии сумма первых $n$ членов $S_n$ вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n,$$

где $a_n$ — последний член прогрессии.
2) Подставим значения для первого и последнего члена:

$$a_1 = x, \quad a_n = 100x, \quad n = 100.$$

Получаем:

$$S_{100} = \frac{x + 100x}{2} \cdot 100 = \frac{101x}{2} \cdot 100 = 5050x.$$

в) $x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + x^{10} + \cdots + x^{100}$, где $x \neq 0$ и $x \neq \pm 1$:

Это выражение также является суммой членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = x^2$, а знаменатель прогрессии $q = x^2$. Для геометрической прогрессии сумма первых $n$ членов $S_n$ вычисляется по той же формуле:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}.$$

Подставим известные значения:

$$b_1 = x^2, \quad q = x^2, \quad n = 50.$$

Получаем:

$$S_{50} = \frac{x^2 \cdot (x^{100} — 1)}{x^2 — 1}.$$

Упростим результат:

$$S_{50} = \frac{x^{200} — x^2}{x^2 — 1}.$$

г) $x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot x^4 \cdot x^5 \cdot \ldots \cdot x^{50}$:

Это произведение членов с одинаковым основанием, и для нахождения степени результата нужно сложить все показатели степеней:

$$1 + 2 + 3 + \cdots + 50.$$

Это также арифметическая прогрессия, где первый член $a_1 = 1$, а разность прогрессии $d = 1$. Сумма $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем значения:

$$a_1 = 1, \quad a_n = 50, \quad n = 50.$$

Получаем:

$$S_{50} = \frac{1 + 50}{2} \cdot 50 = 1275.$$

Таким образом, степень числа $x$ равна $1275$, и искомое выражение:

$$x^{1275}.$$