ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 681 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если известны два её члена: $b_2 = -8$ и $b_8 = -\frac{1}{8}$.

б) Известны два члена геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_3 = 2$, $b_6 = -54$. Найдите $S_6$.

$b_2 = -8$ и $b_8 = -\frac{1}{8}$:

$$b_2=b_1\cdot q,\text{ отсюда }{b}_1=\frac{b_2}{q};$$

$$b_2 = b_1 \cdot q, \text{ отсюда } b_1 = \frac{b_2}{q};$$ $$b_8=b_1\cdot q^7,\text{ отсюда }{b}_1=\frac{b_8}{q^7};$$

$$b_8 = b_1 \cdot q^7, \text{ отсюда } b_1 = \frac{b_8}{q^7};$$ $$\frac{b_2}{q}=\frac{b_8}{q^7}\Rightarrow q^6=\frac{b_8}{b_2}=-\frac{1}{8}:(-8)=\frac{1}{64};$$

$$\frac{b_2}{q} = \frac{b_8}{q^7} \quad \Rightarrow \quad q^6 = \frac{b_8}{b_2} = -\frac{1}{8} : (-8) = \frac{1}{64};$$ $$q=\sqrt[6]{\frac{1}{64}}=\pm \frac{1}{2};$$

$$q = \sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \pm \frac{1}{2};$$ $$S_8 = \frac{b_1 \cdot (1 — q^8)}{1 — q};$$

1) При $q = -\frac{1}{2}$:

$$b_1 = -8 : \left(-\frac{1}{2}\right) = 8 \cdot 2 = 16;$$ $$S_8 = \frac{16 \cdot \left(1 — \left(-\frac{1}{2}\right)^8\right)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{16 \cdot \left(1 — \frac{1}{256}\right)}{\frac{3}{2}} = \frac{16 \cdot \frac{255}{256}}{\frac{3}{2}} = \frac{32}{3} \cdot \frac{255}{256} = \frac{85}{8} = 10 \frac{5}{8};$$

2) При $q = \frac{1}{2}$:

$$b_1 = -8 : \frac{1}{2} = -8 \cdot 2 = -16;$$ $$S_8 = \frac{-16 \cdot \left(1 — \left(\frac{1}{2}\right)^8\right)}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{-16 \cdot \left(1 — \frac{1}{256}\right)}{0.5} = -32 \cdot \frac{255}{256} = -\frac{255}{8} = -31 \frac{7}{8};$$

Ответ: $-31 \frac{7}{8}$ и $10 \frac{5}{8}$.

б) $b_3 = 2$ и $b_6 = -54$:

$$b_3=b_1\cdot q^2,\text{ отсюда }{b}_1=\frac{b_3}{q^2};$$

$$b_3 = b_1 \cdot q^2, \text{ отсюда } b_1 = \frac{b_3}{q^2};$$ $$b_6=b_1\cdot q^5,\text{ отсюда }{b}_1=\frac{b_6}{q^5};$$

$$b_6 = b_1 \cdot q^5, \text{ отсюда } b_1 = \frac{b_6}{q^5};$$ $$\frac{b_3}{q^2}=\frac{b_6}{q^5}\Rightarrow q^3=\frac{b_6}{b_3}=-\frac{54}{2}=-27;$$

$$\frac{b_3}{q^2} = \frac{b_6}{q^5} \quad \Rightarrow \quad q^3 = \frac{b_6}{b_3} = -\frac{54}{2} = -27;$$ $$q=\sqrt[3]{-27}=-3;$$

$$q = \sqrt[3]{-27} = -3;$$ $$b_1=\frac{2}{(-3{)}^2}=\frac{2}{9};$$

$$b_1 = \frac{2}{(-3)^2} = \frac{2}{9};$$ $$S_6=\frac{b_1\cdot (q^6-1)}{q-1};$$

$$S_6 = \frac{b_1 \cdot (q^6 — 1)}{q — 1};$$ $$S_6 = \frac{\frac{2}{9} \cdot \left((-3)^6 — 1\right)}{-3 — 1} = \frac{\frac{2}{9} \cdot (729 — 1)}{-4} = \frac{\frac{2}{9} \cdot 728}{-4} = -\frac{1}{9} \cdot \frac{728}{2} = -\frac{364}{9} = -40 \frac{4}{9};$$

Ответ: $-40 \frac{4}{9}$.

$b_2 = -8$ и $b_8 = -\frac{1}{8}$:

Начнём с того, что для нахождения первого члена геометрической прогрессии $b_1$ по известным значениям $b_2$ и $b_8$ используем формулы для этих членов:

$$b_2 = b_1 \cdot q, \text{ отсюда } b_1 = \frac{b_2}{q}.$$

Точно так же для $b_8$ имеем:

$$b_8 = b_1 \cdot q^7, \text{ отсюда } b_1 = \frac{b_8}{q^7}.$$

Изравняв оба выражения для $b_1$, получаем:

$$\frac{b_2}{q} = \frac{b_8}{q^7}.$$

Умножив обе части на $q^7$, получаем:

$$b_2 \cdot q^6 = b_8,$$

отсюда:

$$q^6 = \frac{b_8}{b_2} = \frac{-\frac{1}{8}}{-8} = \frac{1}{64}.$$

Из этого следует, что:

$$q = \sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \pm \frac{1}{2}.$$

Теперь находим сумму первых восьми членов прогрессии $S_8$:

$$S_8 = \frac{b_1 \cdot (1 — q^8)}{1 — q}.$$

При $q = -\frac{1}{2}$:

$$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{-8}{-\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 = 16.$$

Теперь подставим это в формулу для суммы:

$$S_8 = \frac{16 \cdot \left(1 — \left(-\frac{1}{2}\right)^8\right)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{16 \cdot \left(1 — \frac{1}{256}\right)}{\frac{3}{2}} = \frac{16 \cdot \frac{255}{256}}{\frac{3}{2}}.$$

Умножаем:

$$S_8 = \frac{32}{3} \cdot \frac{255}{256} = \frac{85}{8} = 10 \frac{5}{8}.$$

При $q = \frac{1}{2}$:

$$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{-8}{\frac{1}{2}} = -8 \cdot 2 = -16.$$

Теперь подставим это в формулу для суммы:

$$S_8 = \frac{-16 \cdot \left(1 — \left(\frac{1}{2}\right)^8\right)}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{-16 \cdot \left(1 — \frac{1}{256}\right)}{0.5} = -32 \cdot \frac{255}{256} = -\frac{255}{8} = -31 \frac{7}{8}.$$

Ответ: $-31 \frac{7}{8}$ и $10 \frac{5}{8}$.

$b_3 = 2$ и $b_6 = -54$:

Для того чтобы найти $b_1$, используем формулы для $b_3$ и $b_6$:

$$b_3 = b_1 \cdot q^2, \text{ отсюда } b_1 = \frac{b_3}{q^2}.$$

Точно так же для $b_6$:

$$b_6 = b_1 \cdot q^5, \text{ отсюда } b_1 = \frac{b_6}{q^5}.$$

Изравняв оба выражения для $b_1$, получаем:

$$\frac{b_3}{q^2} = \frac{b_6}{q^5}.$$

Умножив обе части на $q^5$, получаем:

$$b_3 \cdot q^3 = b_6,$$

отсюда:

$$q^3 = \frac{b_6}{b_3} = \frac{-54}{2} = -27.$$

Из этого следует, что:

$$q = \sqrt[3]{-27} = -3.$$

Теперь находим $b_1$:

$$b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{2}{(-3)^2} = \frac{2}{9}.$$

Теперь находим сумму первых шести членов прогрессии $S_6$:

$$S_6 = \frac{b_1 \cdot (q^6 — 1)}{q — 1}.$$

Подставляем $b_1 = \frac{2}{9}$ и $q = -3$:

$$S_6 = \frac{\frac{2}{9} \cdot \left((-3)^6 — 1\right)}{-3 — 1} = \frac{\frac{2}{9} \cdot (729 — 1)}{-4} = \frac{\frac{2}{9} \cdot 728}{-4} = -\frac{1}{9} \cdot \frac{728}{2} = -\frac{364}{9} = -40 \frac{4}{9}.$$

Ответ: $-40 \frac{4}{9}$.