ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 680 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что три целых числа, сумма которых равна 56, составляют геометрическую прогрессию. Первое из этих чисел равно 8. Найдите два других числа.

1) Геометрическая прогрессия $(b_n)$:

$b_1 = 8$ и $S_3 = 56$;

2) Знаменатель прогрессии:

$S_3 = \frac{b_1 \cdot (q^3 — 1)}{q — 1} = 56$;

$\frac{8 \cdot (q^3 — 1)}{q — 1} = 56$;

$\frac{q^3 — 1}{q — 1} = 7$;

$\frac{(q — 1)(q^2 + q + 1)}{q — 1} = 7$;

$q^2 + q + 1 — 7 = 0$;

$q^2 + q — 6 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:

$q_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3$ и $q_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$;

3) При $q = -3$:

$b_2 = b_1 \cdot q = 8 \cdot (-3) = -24$;

$b_3 = b_2 \cdot q = -24 \cdot (-3) = 72$;

4) При $q = 2$:

$b_2 = b_1 \cdot q = 8 \cdot 2 = 16$;

$b_3 = b_2 \cdot q = 16 \cdot 2 = 32$;

Ответ: $-24$ и $72$; $16$ и $32$.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$. Дано, что первый член прогрессии $b_1 = 8$, а сумма трёх первых членов прогрессии $S_3 = 56$. Это означает, что $b_1 + b_2 + b_3 = 56$, где каждый следующий член выражается через знаменатель прогрессии $q$.

Запишем общую формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Она имеет вид:
$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}$, где $q \neq 1$.

Для случая $n = 3$ имеем:
$S_3 = \frac{b_1 \cdot (q^3 — 1)}{q — 1}$.

Подставим $b_1 = 8$ и $S_3 = 56$:
$\frac{8 \cdot (q^3 — 1)}{q — 1} = 56$.

Разделим обе части на 8:
$\frac{q^3 — 1}{q — 1} = 7$.

Заметим, что числитель $q^3 — 1$ можно разложить на множители, используя формулу разности кубов:
$q^3 — 1 = (q — 1)(q^2 + q + 1)$.

Подставим это в дробь:
$\frac{(q — 1)(q^2 + q + 1)}{q — 1} = 7$.

Сократим общий множитель $(q — 1)$, при условии что $q \neq 1$:
$q^2 + q + 1 = 7$.

Переносим 7 влево:
$q^2 + q + 1 — 7 = 0$.

Получаем квадратное уравнение:
$q^2 + q — 6 = 0$.

Решим квадратное уравнение $q^2 + q — 6 = 0$. Для этого используем формулу дискриминанта:
$D = b^2 — 4ac$, где $a = 1$, $b = 1$, $c = -6$.

Вычисляем:
$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Так как $D = 25$, то корни находятся по формуле:
$q_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Подставляем:
$q_1 = \frac{-1 — 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$,
$q_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Таким образом, знаменатель прогрессии может быть либо $q = -3$, либо $q = 2$.

Рассмотрим случай $q = -3$.

Вычислим второй член прогрессии:
$b_2 = b_1 \cdot q = 8 \cdot (-3) = -24$.

Теперь найдём третий член:
$b_3 = b_2 \cdot q = -24 \cdot (-3) = 72$.

Проверим сумму:
$b_1 + b_2 + b_3 = 8 + (-24) + 72 = 56$. Совпадает.

Следовательно, при $q = -3$ получаем $b_2 = -24$, $b_3 = 72$.

Рассмотрим случай $q = 2$.

Вычислим второй член прогрессии:
$b_2 = b_1 \cdot q = 8 \cdot 2 = 16$.

Теперь найдём третий член:
$b_3 = b_2 \cdot q = 16 \cdot 2 = 32$.

Проверим сумму:
$b_1 + b_2 + b_3 = 8 + 16 + 32 = 56$. Совпадает.

Следовательно, при $q = 2$ получаем $b_2 = 16$, $b_3 = 32$.

Таким образом, возможны два варианта прогрессии:
при $q = -3$ члены $b_2 = -24$, $b_3 = 72$;
при $q = 2$ члены $b_2 = 16$, $b_3 = 32$.

Ответ: $-24$ и $72$; $16$ и $32$.