ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 679 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сколько последовательных членов геометрической прогрессии 1; -2; 4; -8; 16; … нужно сложить, чтобы получить сумму, равную: а) -85; б) 171?

Геометрическая прогрессия: 1; −2; 4; −8; 16; …

$b_1 = 1$ и $q = \frac{-2}{1} = -2$.

а) Сумма $n$ членов прогрессии равна −85:

$S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} = -85$;

$1 \cdot \frac{(-2)^n — 1}{-2 — 1} = -85$;

$\frac{(-2)^n — 1}{-3} = -85$;

$(-2)^n — 1 = -85 \cdot (-3)$;

$(-2)^n = 255 + 1$;

$(-2)^n = 256$;

$(-2)^n = (-2)^8$, отсюда $n = 8$.

Ответ: 8.

б) Сумма $n$ членов прогрессии равна 171:

$S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1} = 171$;

$1 \cdot \frac{(-2)^n — 1}{-2 — 1} = 171$;

$\frac{(-2)^n — 1}{-3} = 171$;

$(-2)^n — 1 = 171 \cdot (-3)$;

$(-2)^n = -513 + 1$;

$(-2)^n = -512$;

$(-2)^n = (-2)^9$, отсюда $n = 9$.

Ответ: 9.

Геометрическая прогрессия: $1; -2; 4; -8; 16; \ldots$.

$b_1 = 1$ и знаменатель прогрессии $q = \frac{-2}{1} = -2$.

а) Сумма $n$ членов прогрессии равна $-85$. Используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}$.

Подставляем значения $b_1 = 1$, $q = -2$, $S_n = -85$:

$1 \cdot \frac{(-2)^n — 1}{-2 — 1} = -85$.

Знаменатель равен $-2 — 1 = -3$, поэтому:

$\frac{(-2)^n — 1}{-3} = -85$.

Умножаем обе части уравнения на $-3$, чтобы избавиться от знаменателя:

$(-2)^n — 1 = -85 \cdot (-3)$.

В правой части произведение равно:

$-85 \cdot (-3) = 255$.

Получаем:

$(-2)^n — 1 = 255$.

Прибавим 1 к обеим частям:

$(-2)^n = 255 + 1$.

$(-2)^n = 256$.

Число 256 — это степень числа 2: $256 = 2^8$. Так как основание $(-2)$, получаем:

$(-2)^n = (-2)^8$.

Следовательно, $n = 8$.

Ответ: $8$.

б) Сумма $n$ членов прогрессии равна $171$. Используем ту же формулу суммы:

$S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}$.

Подставляем значения $b_1 = 1$, $q = -2$, $S_n = 171$:

$1 \cdot \frac{(-2)^n — 1}{-2 — 1} = 171$.

Знаменатель $-2 — 1 = -3$, поэтому:

$\frac{(-2)^n — 1}{-3} = 171$.

Умножаем обе части на $-3$:

$(-2)^n — 1 = 171 \cdot (-3)$.

Вычисляем правую часть:

$171 \cdot (-3) = -513$.

Получаем:

$(-2)^n — 1 = -513$.

Прибавим 1 к обеим частям:

$(-2)^n = -513 + 1$.

$(-2)^n = -512$.

Число $-512$ можно представить как степень числа $-2$:

$(-2)^9 = -512$.

Следовательно, $n = 9$.

Ответ: $9$.