ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 678 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Знаменатель геометрической прогрессии равен $-5$, а сумма первых трех её членов равна $-21$. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

б) Знаменатель геометрической прогрессии равен $\frac{1}{5}$, а сумма первых четырёх её членов равна $62 \frac{2}{5}$. Найдите сумму первых двух членов этой прогрессии.

а) $q = -5$ и $S_3 = -21$:
$S_3 = \frac{b_1 \cdot (q^3 — 1)}{q — 1}, \text{ отсюда } b_1 = \frac{S_3 \cdot (q — 1)}{q^3 — 1};$
$b_1 = \frac{-21 \cdot (-5 — 1)}{(-5)^3 — 1} = \frac{-21 \cdot (-6)}{-125 — 1} = \frac{126}{-126} = -1;$
$S_6 = \frac{b_1 \cdot (q^6 — 1)}{q — 1};$
$S_6 = \frac{-1 \cdot ((-5)^6 — 1)}{-5 — 1} = \frac{-1 \cdot (15 \, 625 — 1)}{-6} = \frac{-15 \, 624}{-6} = 2604;$

б) $q = \frac{1}{5}$ и $S_4 = 62 \frac{2}{5} = \frac{312}{5}$:
$S_4 = \frac{b_1 \cdot (1 — q^4)}{1 — q}, \text{ отсюда } b_1 = \frac{S_4 \cdot (1 — q)}{1 — q^4};$
$b_1 = \frac{\frac{312}{5} \cdot \left(1 — \frac{1}{5}\right)}{1 — \left(\frac{1}{5}\right)^4} = \frac{\frac{312}{5} \cdot \frac{4}{5}}{1 — \frac{1}{625}} = \frac{\frac{1248}{25}}{\frac{624}{625}} = \frac{1248 \cdot 625}{25 \cdot 624} = 2 \cdot 25 = 50;$
$b_2 = b_1 \cdot q = 50 \cdot \frac{1}{5} = 10;$
$S_2 = b_1 + b_2 = 50 + 10 = 60;$

а) $q = -5$ и $S_3 = -21$:

Начнём с того, что для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии можно использовать формулу для суммы первых $n$ членов прогрессии:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1},$$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов. Для суммы первых трёх членов $S_3$, имеем:

$$S_3 = \frac{b_1 \cdot (q^3 — 1)}{q — 1}.$$

Подставляем $q = -5$ и $S_3 = -21$:

$$-21 = \frac{b_1 \cdot ((-5)^3 — 1)}{-5 — 1}.$$

Решаем сначала выражения в числителе и знаменателе:

$$(-5)^3 = -125, \quad -125 — 1 = -126,$$

и

$$-5 — 1 = -6.$$

Тогда:

$$-21 = \frac{b_1 \cdot (-126)}{-6}.$$

Умножаем обе части уравнения на $-6$:

$$-21 \cdot (-6) = b_1 \cdot (-126),$$

получаем:

$$126 = b_1 \cdot (-126),$$

и

$$b_1 = \frac{126}{-126} = -1.$$

Теперь, когда мы знаем $b_1 = -1$, можем найти сумму первых шести членов прогрессии $S_6$. Используем аналогичную формулу для суммы первых $n$ членов прогрессии:

$$S_6 = \frac{b_1 \cdot (q^6 — 1)}{q — 1}.$$

Подставляем значения:

$$S_6 = \frac{-1 \cdot ((-5)^6 — 1)}{-5 — 1}.$$

Решаем выражение в числителе:

$$(-5)^6 = 15625, \quad 15625 — 1 = 15624.$$

Теперь подставляем:

$$S_6 = \frac{-1 \cdot 15624}{-6}.$$

Умножаем:

$$S_6 = \frac{-15624}{-6} = 2604.$$

б) $q = \frac{1}{5}$ и $S_4 = 62 \frac{2}{5} = \frac{312}{5}$:

Используем формулу для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$$S_4 = \frac{b_1 \cdot (1 — q^4)}{1 — q}.$$

Отсюда выражаем $b_1$:

$$b_1 = \frac{S_4 \cdot (1 — q)}{1 — q^4}.$$

Подставляем значения:

$$b_1 = \frac{\frac{312}{5} \cdot \left( 1 — \frac{1}{5} \right)}{1 — \left( \frac{1}{5} \right)^4}.$$

Решаем выражения:

$$1 — \frac{1}{5} = \frac{4}{5}, \quad \left( \frac{1}{5} \right)^4 = \frac{1}{625}.$$

Теперь подставляем эти значения:

$$b_1 = \frac{\frac{312}{5} \cdot \frac{4}{5}}{1 — \frac{1}{625}} = \frac{\frac{1248}{25}}{\frac{624}{625}}.$$

Умножаем дроби:

$$b_1 = \frac{1248 \cdot 625}{25 \cdot 624} = \frac{780000}{15600} = 50.$$

Теперь можем найти второй член прогрессии $b_2$:

$$b_2 = b_1 \cdot q = 50 \cdot \frac{1}{5} = 10.$$

Сумма первых двух членов прогрессии $S_2$ равна:

$$S_2 = b_1 + b_2 = 50 + 10 = 60.$$