ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 677 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) В геометрической прогрессии $(b_n)$:
$b_4 = \frac{3}{64}$, $q = \frac{1}{2}$. Найдите $S_8$.

б) Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, если её пятый член равен $-9$, а знаменатель равен $-3$.

а) $b_4 = \frac{3}{64}$ и $q = \frac{1}{2}$:
$b_4 = b_1 \cdot q^3, \text{ отсюда } b_1 = \frac{b_4}{q^3};$
$b_1 = \frac{\frac{3}{64}}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{\frac{3}{64}}{\frac{1}{8}} = \frac{3}{64} \cdot 8 = \frac{3}{8};$
$S_8 = \frac{b_1 \cdot (1 — q^8)}{1 — q};$
$S_8 = \frac{\frac{3}{8} \cdot \left(1 — \left(\frac{1}{2}\right)^8\right)}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{8} \cdot \left(1 — \frac{1}{256}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{8} \cdot \frac{255}{256}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{255}{256} = \frac{765}{1024};$

б) $b_5 = -9$ и $q = -3$:
$b_5 = b_1 \cdot q^4, \text{ отсюда } b_1 = \frac{b_5}{q^4};$
$b_1 = \frac{-9}{(-3)^4} = \frac{-9}{81} = -\frac{1}{9};$
$S_{10} = \frac{b_1 \cdot (q^{10} — 1)}{q — 1};$
$S_{10} = \frac{-\frac{1}{9} \cdot \left((-3)^{10} — 1\right)}{-3 — 1} = \frac{-\frac{1}{9} \cdot (59 \, 049 — 1)}{-4} = \frac{-\frac{1}{9} \cdot 59 \, 048}{-4} = \frac{14 \, 762}{9} = 1640 \frac{2}{9};$

а) $b_4 = \frac{3}{64}$ и $q = \frac{1}{2}$:

Известно, что $b_4 = b_1 \cdot q^3$, где $b_4$ — четвёртый член прогрессии, $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Подставляем известное значение для $b_4$:

$$b_4 = \frac{3}{64}, \quad q = \frac{1}{2}.$$

Из этого выражения находим $b_1$:

$$b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{\frac{3}{64}}{\left(\frac{1}{2}\right)^3}.$$

Так как $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$, то получаем:

$$b_1 = \frac{\frac{3}{64}}{\frac{1}{8}} = \frac{3}{64} \cdot 8 = \frac{3}{8}.$$

Теперь находим сумму первых 8 членов прогрессии $S_8$. Формула для суммы первых $n$-членов геометрической прогрессии:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (1 — q^n)}{1 — q}.$$

Для $S_8$ подставляем $n = 8$, $b_1 = \frac{3}{8}$, $q = \frac{1}{2}$:

$$S_8 = \frac{\frac{3}{8} \cdot (1 — \left(\frac{1}{2}\right)^8)}{1 — \frac{1}{2}}.$$

В числителе вычисляем $\left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{1}{256}$:

$$S_8 = \frac{\frac{3}{8} \cdot \left(1 — \frac{1}{256}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{8} \cdot \frac{255}{256}}{\frac{1}{2}}.$$

Умножаем числитель и знаменатель:

$$S_8 = \frac{3}{4} \cdot \frac{255}{256} = \frac{765}{1024}.$$

б) $b_5 = -9$ и $q = -3$:

Известно, что $b_5 = b_1 \cdot q^4$. Подставляем значение $b_5 = -9$ и $q = -3$:

$$b_5 = -9, \quad q = -3.$$

Находим $b_1$ из уравнения:

$$b_1 = \frac{b_5}{q^4} = \frac{-9}{(-3)^4}.$$

Поскольку $(-3)^4 = 81$, получаем:

$$b_1 = \frac{-9}{81} = -\frac{1}{9}.$$

Теперь находим сумму первых 10 членов прогрессии $S_{10}$. Формула для суммы первых $n$-членов геометрической прогрессии:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}.$$

Для $S_{10}$ подставляем $n = 10$, $b_1 = -\frac{1}{9}$, $q = -3$:

$$S_{10} = \frac{-\frac{1}{9} \cdot \left((-3)^{10} — 1\right)}{-3 — 1}.$$

Вычисляем $(-3)^{10} = 59 \, 049$:

$$S_{10} = \frac{-\frac{1}{9} \cdot (59 \, 049 — 1)}{-4} = \frac{-\frac{1}{9} \cdot 59 \, 048}{-4}.$$

Делим и получаем:

$$S_{10} = \frac{14 \, 762}{9} = 1640 \frac{2}{9}.$$