ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 676 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Премиальный фонд 32 500 р. надо разделить между четырьмя сотрудниками так, чтобы каждый следующий получил в 1,5 раза больше предыдущего. Сколько получит каждый?

1) Имеем геометрическую прогрессию, в которой:
$S_4 = 32 \, 500$ и $q = 1,5 = \frac{3}{2}$;

2) Премия, которую получит первый сотрудник:
$S_4 = \frac{b_1 \cdot (q^4 — 1)}{q — 1}, \text{ отсюда } b_1 = \frac{S_4 \cdot (q — 1)}{q^4 — 1};$
$b_1 = \frac{32 \, 500 \cdot \left(\frac{3}{2} — 1\right)}{\left(\frac{3}{2}\right)^4 — 1} = \frac{32 \, 500 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{81}{16} — 1} = \frac{16 \, 250 \cdot \frac{16}{65}}{1} = 4000;$

3) Премия остальных сотрудников:
$b_2 = b_1 \cdot q = 4000 \cdot 1,5 = 6000;$
$b_3 = b_2 \cdot q = 6000 \cdot 1,5 = 9000;$
$b_4 = b_3 \cdot q = 9000 \cdot 1,5 = 13 \, 500;$

Ответ: $4000; \, 6000; \, 9000; \, 13 \, 500$.

1) Имеем геометрическую прогрессию, в которой:
Первоначальная информация:
$S_4 = 32 \, 500$ — сумма первых четырёх членов прогрессии,
$q = 1,5 = \frac{3}{2}$ — коэффициент прогрессии.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}$$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов прогрессии.

2) Премия, которую получит первый сотрудник:
Используем формулу для суммы $S_4$, чтобы выразить $b_1$:

$$S_4 = \frac{b_1 \cdot (q^4 — 1)}{q — 1}, \quad \text{отсюда} \quad b_1 = \frac{S_4 \cdot (q — 1)}{q^4 — 1}.$$

Теперь подставляем значения:

$$b_1 = \frac{32 \, 500 \cdot \left(\frac{3}{2} — 1\right)}{\left(\frac{3}{2}\right)^4 — 1} = \frac{32 \, 500 \cdot \frac{1}{2}}{\left(\frac{81}{16} — 1\right)}.$$

Вычисляем выражение в знаменателе:

$$\frac{81}{16} — 1 = \frac{81}{16} — \frac{16}{16} = \frac{65}{16}.$$

Теперь подставляем это в числитель:

$$b_1 = \frac{32 \, 500 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{65}{16}} = \frac{16 \, 250 \cdot 16}{65} = 4000.$$

3) Премия остальных сотрудников:
Для нахождения премий остальных сотрудников, используя коэффициент прогрессии $q = 1,5$, будем умножать премию предыдущего сотрудника на $q$.

Премия второго сотрудника:

$$b_2 = b_1 \cdot q = 4000 \cdot 1,5 = 6000.$$

Премия третьего сотрудника:

$$b_3 = b_2 \cdot q = 6000 \cdot 1,5 = 9000.$$

Премия четвёртого сотрудника:

$$b_4 = b_3 \cdot q = 9000 \cdot 1,5 = 13 \, 500.$$

Ответ: $4000; \, 6000; \, 9000; \, 13 \, 500$.