ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 675 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Фигура, изображённая на рисунке 4.17, состоит из прямоугольников, причём каждый следующий в 1,5 раза выше предыдущего. Найдите площадь фигуры, если она состоит из 5 прямоугольников; из n прямоугольников.

1) Площади прямоугольников изменяются в геометрической прогрессии:
$s_1 = 1 \cdot 1 = 1$ и $s_2 = 1 \cdot 1,5 = 1,5$;
$q = \frac{1,5}{1} = \frac{3}{2};$

2) Площадь фигуры из $n$ прямоугольников:
$S_n = \frac{s_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1};$
$S_n = \frac{1 \cdot (1,5^n — 1)}{1,5 — 1} = 2 \left( \left(\frac{3}{2}\right)^n — 1 \right) = \frac{2}{2^n} \cdot 3^n — 2 = 2^{1-n} \cdot 3^n — 2 = \frac{3^n}{2^{n-1}} — 2;$

3) Площадь фигуры из 5 прямоугольников:
$S_5 = \frac{3^5}{2^4} — 2 = \frac{243}{16} — \frac{32}{16} = \frac{211}{16} = 13 \frac{3}{16};$

1) Площади прямоугольников изменяются в геометрической прогрессии:
Площадь первого прямоугольника:
$s_1 = 1 \cdot 1 = 1$.
Площадь второго прямоугольника:
$s_2 = 1 \cdot 1,5 = 1,5$.
Рассчитаем знаменатель геометрической прогрессии:
$q = \frac{s_2}{s_1} = \frac{1,5}{1} = 1,5$.
Таким образом, отношение последовательных площадей прямоугольников равно $\frac{3}{2}$, что и является коэффициентом прогрессии.

2) Площадь фигуры из $n$ прямоугольников:
Площадь фигуры $S_n$, состоящей из $n$ прямоугольников, можно вычислить по формуле суммы членов геометрической прогрессии, если первый член равен $s_1$, а знаменатель прогрессии равен $q$:
$S_n = \frac{s_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}$.
Подставим значения:
$S_n = \frac{1 \cdot (1,5^n — 1)}{1,5 — 1} = \frac{1 \cdot (1,5^n — 1)}{0,5} = 2 \cdot (1,5^n — 1)$.
Далее, упрощаем выражение:
$S_n = 2 \cdot \left( \left( \frac{3}{2} \right)^n — 1 \right) = 2 \left( \frac{3^n}{2^n} — 1 \right) = \frac{2}{2^n} \cdot 3^n — 2$.
Таким образом, общее выражение для площади фигуры из $n$ прямоугольников выглядит так:
$S_n = 2^{1-n} \cdot 3^n — 2$.

3) Площадь фигуры из 5 прямоугольников:
Теперь вычислим площадь фигуры, состоящей из 5 прямоугольников, подставив $n = 5$ в полученную формулу для площади:
$S_5 = 2^{1-5} \cdot 3^5 — 2 = \frac{3^5}{2^4} — 2 = \frac{243}{16} — 2$.
Преобразуем 2 в дробь с тем же знаменателем:
$S_5 = \frac{243}{16} — \frac{32}{16} = \frac{243 — 32}{16} = \frac{211}{16}$.
Результат:
$S_5 = 13 \frac{3}{16}$.