ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 673 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $4 + 12 + 36 + \ldots + 4 \cdot 3^9$;

б) $-3 — 6 — 12 — \ldots — 3 \cdot 2^7$;

в) $1 — 2 + 4 — 8 + 16 — \ldots — 2^9$;

г) $3^0 — 3^1 + 3^2 — 3^3 + \ldots + 3^{10}$.

а) $4 + 12 + 36 + \cdots + 4 \cdot 3^9$:
$b_1 = 4$ и $q = \frac{21}{4} = 3$;

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1};$$

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1};$$ $$b_n = 4 \cdot 3^{n-1} = 4 \cdot 3^9;$$

$n — 1 = 9$, отсюда $n = 10$;

$$S_{10}=\frac{b_1\cdot (q^{10}-1)}{q-1};$$

$$S_{10} = \frac{b_1 \cdot (q^{10} — 1)}{q — 1};$$ $$S_{10} = \frac{4 \cdot (3^{10} — 1)}{3 — 1} = 2 \cdot (59 \, 049 — 1) = 118 \, 096;$$

б) $-3 — 6 — 12 — \cdots — 3 \cdot 2^7$:
$b_1 = -3$ и $q = \frac{-6}{-3} = 2$;

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1};$$

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1};$$ $$b_n = -3 \cdot 2^{n-1} = -3 \cdot 2^7;$$

$n — 1 = 7$, отсюда $n = 8$;

$$S_8=\frac{b_1\cdot (q^8-1)}{q-1};$$

$$S_8 = \frac{b_1 \cdot (q^8 — 1)}{q — 1};$$ $$S_8 = \frac{-3 \cdot (2^8 — 1)}{2 — 1} = -3 \cdot (256 — 1) = -765;$$

в) $1 — 2 + 4 — 8 + 16 — \cdots — 2^9$:
$b_1 = 1$ и $q = \frac{-2}{1} = -2$;

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1};$$

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1};$$ $$b_n = (-2)^{n-1} = (-2)^9;$$

$n — 1 = 9$, отсюда $n = 10$;

$$S_{10} = \frac{b_1 \cdot (q^{10} — 1)}{q — 1};$$ $$S_{10} = \frac{1 \cdot ((-2)^{10} — 1)}{-2 — 1} = \frac{1 \cdot (1024 — 1)}{-3} = -\frac{1023}{3} = -341;$$

г) $3^0 — 3^1 + 3^2 — 3^3 + \cdots + 3^{10}$:
$b_1 = 3^0 = 1$ и $q = \frac{-3^1}{3^0} = -3$;

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1};$$

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1};$$ $$b_n = (-3)^{n-1} = 3^{10};$$

$n — 1 = 10$, отсюда $n = 11$;

$$S_{11}=\frac{b_1\cdot (q^{11}-1)}{q-1};$$

$$S_{11} = \frac{b_1 \cdot (q^{11} — 1)}{q — 1};$$ $$S_{11} = \frac{1 \cdot ((-3)^{11} — 1)}{-3 — 1} = \frac{1 \cdot (-177 \, 147 — 1)}{-4} = \frac{-177 \, 148}{-4} = 44 \, 287;$$

а) $4 + 12 + 36 + \cdots + 4 \cdot 3^9$:
Для данной последовательности имеется геометрическая прогрессия, где первый член $b_1 = 4$, а коэффициент прогрессии $q = 3$.
Общее выражение для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

Подставляем $b_1 = 4$ и $q = 3$, получаем:

$$b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$$

Задача заключается в вычислении суммы первых 10 членов этой прогрессии. Чтобы найти сумму $S_{10}$, используем формулу суммы первых $n$-ти членов геометрической прогрессии:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}$$

Подставляем $b_1 = 4$, $q = 3$ и $n = 10$ в эту формулу:

$$S_{10} = \frac{4 \cdot (3^{10} — 1)}{3 — 1} = 2 \cdot (3^{10} — 1)$$

Теперь вычислим $3^{10} = 59049$, подставляем:

$$S_{10} = 2 \cdot (59049 — 1) = 2 \cdot 59048 = 118096$$

б) $-3 — 6 — 12 — \cdots — 3 \cdot 2^7$:
Это также геометрическая прогрессия, где первый член $b_1 = -3$, а коэффициент прогрессии $q = 2$.
Общее выражение для $n$-го члена прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

Подставляем $b_1 = -3$ и $q = 2$, получаем:

$$b_n = -3 \cdot 2^{n-1}$$

Нам нужно найти сумму первых 8 членов прогрессии. Формула для суммы первых $n$-ти членов геометрической прогрессии:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}$$

Подставляем $b_1 = -3$, $q = 2$ и $n = 8$ в эту формулу:

$$S_8 = \frac{-3 \cdot (2^8 — 1)}{2 — 1} = -3 \cdot (2^8 — 1)$$

Вычисляем $2^8 = 256$, подставляем:

$$S_8 = -3 \cdot (256 — 1) = -3 \cdot 255 = -765$$

в) $1 — 2 + 4 — 8 + 16 — \cdots — 2^9$:
Это геометрическая прогрессия, где первый член $b_1 = 1$, а коэффициент прогрессии $q = -2$.
Общее выражение для $n$-го члена прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

Подставляем $b_1 = 1$ и $q = -2$, получаем:

$$b_n = (-2)^{n-1}$$

Нам нужно найти сумму первых 10 членов прогрессии. Формула для суммы первых $n$-ти членов геометрической прогрессии:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}$$

Подставляем $b_1 = 1$, $q = -2$ и $n = 10$ в эту формулу:

$$S_{10} = \frac{1 \cdot ((-2)^{10} — 1)}{-2 — 1} = \frac{1 \cdot (1024 — 1)}{-3} = -\frac{1023}{3} = -341$$

г) $3^0 — 3^1 + 3^2 — 3^3 + \cdots + 3^{10}$:
Это сумма членов с чередующимися знаками, и её можно выразить как геометрическую прогрессию, где первый член $b_1 = 1$, а коэффициент прогрессии $q = -3$.
Общее выражение для $n$-го члена прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

Подставляем $b_1 = 1$ и $q = -3$, получаем:

$$b_n = (-3)^{n-1}$$

Нам нужно найти сумму первых 11 членов прогрессии. Формула для суммы первых $n$-ти членов геометрической прогрессии:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}$$

Подставляем $b_1 = 1$, $q = -3$ и $n = 11$ в эту формулу:

$$S_{11} = \frac{1 \cdot ((-3)^{11} — 1)}{-3 — 1} = \frac{1 \cdot (-177147 — 1)}{-4} = \frac{-177148}{-4} = 44287$$$44287$