ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 672 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Андрей и Борис выписывали английские слова из словаря в течение пяти дней (см. задачу 642 из п. 4.4). Сколько всего слов выписал каждый из них?

1) Для Андрея имеем геометрическую прогрессию, в которой:
$b_1 = 16$ и $q = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$;

$$S_5=\frac{b_1\cdot (q^5-1)}{q-1};$$

$$S_5 = \frac{b_1 \cdot (q^5 — 1)}{q — 1};$$ $$S_5 = \frac{16 \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^5 — 1\right)}{\frac{3}{2} — 1} = 16 \cdot 2 \cdot \left(\frac{243}{32} — 1\right) = 32 \cdot \frac{211}{32} = 211;$$

2) Для Бориса имеем арифметическую прогрессию, в которой:
$a_1 = 16$ и $d = 24 — 16 = 8$;

$$S_5=\frac{2a_1+4d}{2}\cdot 5=(a_1+2d)\cdot 5;$$

$$S_5 = \frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = (a_1 + 2d) \cdot 5;$$ $$S_5 = (16 + 2 \cdot 8) \cdot 5 = (16 + 16) \cdot 5 = 32 \cdot 5 = 160;$$

Ответ: $211$ слов Андрей; $160$ слов Борис.

1) Для Андрея имеем геометрическую прогрессию, в которой первый член $b_1 = 16$, а коэффициент прогрессии $q = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$.
Сумма первых $n$-ти членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}$$

Здесь $S_n$ — это сумма первых $n$-ти членов прогрессии, $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — коэффициент прогрессии, и $n$ — количество членов, которые нужно сложить.

Теперь подставим значения для $b_1 = 16$, $q = \frac{3}{2}$ и $n = 5$ в эту формулу:

$$S_5 = \frac{16 \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^5 — 1\right)}{\frac{3}{2} — 1}$$

В числителе вычисляем $\left(\frac{3}{2}\right)^5$. Для этого возводим $\frac{3}{2}$ в пятую степень:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{243}{32}$$

Теперь подставим это значение в формулу:

$$S_5 = \frac{16 \cdot \left(\frac{243}{32} — 1\right)}{\frac{3}{2} — 1}$$

Вычитаем 1 из $\frac{243}{32}$, получаем:

$$\frac{243}{32} — 1 = \frac{243}{32} — \frac{32}{32} = \frac{211}{32}$$

Теперь подставляем это значение в формулу:

$$S_5 = \frac{16 \cdot \frac{211}{32}}{\frac{1}{2}} = 16 \cdot 2 \cdot \frac{211}{32}$$

Умножаем:

$$S_5 = 32 \cdot \frac{211}{32} = 211$$

Ответ: $211$ слов.

2) Для Бориса имеем арифметическую прогрессию, в которой первый член $a_1 = 16$, а разность прогрессии $d = 24 — 16 = 8$.
Сумма первых $n$-ти членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов прогрессии.

Теперь подставим $a_1 = 16$, $d = 8$ и $n = 5$ в эту формулу:

$$S_5 = \frac{2 \cdot 16 + 8 \cdot (5-1)}{2} \cdot 5 = \frac{2 \cdot 16 + 8 \cdot 4}{2} \cdot 5$$

Умножаем:

$$S_5 = \frac{32 + 32}{2} \cdot 5 = \frac{64}{2} \cdot 5 = 32 \cdot 5 = 160$$

Ответ: $160$ слов.