ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 671 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Из одинаковых кубиков строится две ступенчатые фигуры (рис. 4.16). В первом случае столбики растут равномерно, а во втором высота каждого следующего столбика удваивается по сравнению с высотой предыдущего. Сколько кубиков потребуется для каждой из фигур, если в них содержится: по 8 столбиков; по n столбиков?

1) Для первой фигуры имеем арифметическую прогрессию, в которой:
$a_1 = 1$ и $d = 1$;

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=\frac{2+n-1}{2}\cdot n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n+n^2}{2};$$

$$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = \frac{2 + n — 1}{2} \cdot n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n + n^2}{2};$$ $$S_8 = \frac{8 + 8^2}{2} = \frac{8 + 64}{2} = \frac{72}{2} = 36;$$

2) Для второй фигуры имеем геометрическую прогрессию, в которой:
$b_1 = 1$ и $q = 2$;

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1\cdot (2^n-1)}{2-1}=2^n-1;$$

$$S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} = \frac{1 \cdot (2^n — 1)}{2 — 1} = 2^n — 1;$$ $$S_8 = 2^8 — 1 = 256 — 1 = 255;$$

1) Для первой фигуры имеем арифметическую прогрессию, в которой первый член равен $a_1 = 1$, а разность прогрессии $d = 1$.
Сумма первых $n$-ти членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$$

Здесь $S_n$ — это сумма первых $n$-ти членов прогрессии, $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов, которые нужно сложить.

Теперь подставим значения $a_1 = 1$ и $d = 1$ в эту формулу:

$$S_n = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot (n-1)}{2} \cdot n = \frac{2 + n — 1}{2} \cdot n = \frac{n + 1}{2} \cdot n$$

Упростим выражение:

$$S_n = \frac{n + n^2}{2}$$

Теперь вычислим сумму для $n = 8$:

$$S_8 = \frac{8 + 8^2}{2} = \frac{8 + 64}{2} = \frac{72}{2} = 36$$

Ответ: $S_8 = 36$

2) Для второй фигуры имеем геометрическую прогрессию, в которой первый член $b_1 = 1$, а коэффициент прогрессии $q = 2$.
Сумма первых $n$-ти членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{b_1 (q^n — 1)}{q — 1}$$

Здесь $S_n$ — сумма первых $n$-ти членов прогрессии, $b_1$ — первый член, $q$ — коэффициент прогрессии, и $n$ — количество членов.

Подставим $b_1 = 1$ и $q = 2$ в формулу:

$$S_n = \frac{1 \cdot (2^n — 1)}{2 — 1} = 2^n — 1$$

Теперь вычислим сумму для $n = 8$:

$$S_8 = 2^8 — 1 = 256 — 1 = 255$$

Ответ: $S_8 = 255$