ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 666 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выпишите первые пять членов геометрической прогрессии ($b_n$), заданной формулой n-го члена, и найдите их сумму:
а) $b_n = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$;

б) $b_n = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$.

$b_n = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$:

$$b_1=6\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^0=6\cdot 1=6;$$

$$b_1 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 6 \cdot 1 = 6;$$ $$b_2=6\cdot \frac{2}{3}=\frac{12}{3}=4;$$

$$b_2 = 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4;$$ $$b_3=6\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2=6\cdot \frac{4}{9}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3};$$

$$b_3 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 6 \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3};$$ $$b_4=6\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^3=6\cdot \frac{8}{27}=\frac{48}{27}=\frac{16}{9}=1\frac{7}{9};$$

$$b_4 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 6 \cdot \frac{8}{27} = \frac{48}{27} = \frac{16}{9} = 1 \frac{7}{9};$$ $$b_5=6\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^4=6\cdot \frac{16}{81}=\frac{96}{81}=\frac{32}{27}=1\frac{5}{27};$$

$$b_5 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 6 \cdot \frac{16}{81} = \frac{96}{81} = \frac{32}{27} = 1 \frac{5}{27};$$ $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3};$$

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};$$ $$S_5 = \frac{b_1 \cdot (1 — q^5)}{1 — q};$$ $$S_5=\frac{6(1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^5)}{1-\frac{2}{3}}=\frac{6(1-\frac{32}{243})}{\frac{1}{3}}=6\cdot 3\cdot (1-\frac{32}{243})=$$

$$S_5 = \frac{6 \left(1 — \left(\frac{2}{3}\right)^5\right)}{1 — \frac{2}{3}} = \frac{6 \left(1 — \frac{32}{243}\right)}{\frac{1}{3}} = 6 \cdot 3 \cdot \left(1 — \frac{32}{243}\right) = 18 \cdot \frac{211}{243} = 2 \cdot \frac{211}{27} = \frac{422}{27} = 15 \frac{17}{27}.$$

б) $b_n = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$:

$$b_1=-\frac{2}{81}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^0=-\frac{2}{81}\cdot 1=-\frac{2}{81};$$

$$b_1 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^0 = -\frac{2}{81} \cdot 1 = -\frac{2}{81};$$ $$b_2=-\frac{2}{81}\cdot \frac{3}{2}=-\frac{6}{162}=-\frac{1}{27};$$

$$b_2 = -\frac{2}{81} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{6}{162} = -\frac{1}{27};$$ $$b_3=-\frac{2}{81}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^2=-\frac{2}{81}\cdot \frac{9}{4}=-\frac{18}{324}=-\frac{1}{18};$$

$$b_3 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{2}{81} \cdot \frac{9}{4} = -\frac{18}{324} = -\frac{1}{18};$$ $$b_4=-\frac{2}{81}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^3=-\frac{2}{81}\cdot \frac{27}{8}=-\frac{54}{648}=-\frac{1}{12};$$

$$b_4 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{2}{81} \cdot \frac{27}{8} = -\frac{54}{648} = -\frac{1}{12};$$ $$b_5=-\frac{2}{81}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^4=-\frac{2}{81}\cdot \frac{81}{16}=-\frac{162}{1296}=-\frac{1}{8};$$

$$b_5 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^4 = -\frac{2}{81} \cdot \frac{81}{16} = -\frac{162}{1296} = -\frac{1}{8};$$ $$q=\frac{b_4}{b_3}=(-\frac{1}{12}):(-\frac{1}{18})=\frac{18}{12}=\frac{3}{2};$$

$$q = \frac{b_4}{b_3} = \left(-\frac{1}{12}\right) : \left(-\frac{1}{18}\right) = \frac{18}{12} = \frac{3}{2};$$ $$S_5 = \frac{b_1 \cdot (q^5 — 1)}{q — 1};$$ $$S_5=\frac{-\frac{2}{81}\cdot ({\left(\frac{3}{2}\right)}^5-1)}{\frac{3}{2}-1}=\frac{-\frac{2}{81}\cdot (\frac{243}{32}-1)}{\frac{1}{2}}=-\frac{2}{81}\cdot 2\cdot \left(\frac{243-32}{32}\right)=$$

$$S_5 = \frac{-\frac{2}{81} \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^5 — 1\right)}{\frac{3}{2} — 1} = \frac{-\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{243}{32} — 1\right)}{\frac{1}{2}} = -\frac{2}{81} \cdot 2 \cdot \left(\frac{243 — 32}{32}\right) = -\frac{4}{81} \cdot \frac{211}{32} = -\frac{221}{648}.$$

$b_n = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$:

Для $b_1$:

$$b_1 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 6 \cdot 1 = 6$$

Здесь мы используем свойство, что любое число в степени ноль равно единице, поэтому $b_1 = 6$.

Для $b_2$:

$$b_2 = 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$$

Мы умножаем 6 на $\frac{2}{3}$, что даёт $b_2 = 4$.

Для $b_3$:

$$b_3 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 6 \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$$

Мы возводим $\frac{2}{3}$ в квадрат, получаем $\frac{4}{9}$, затем умножаем на 6, что даёт $b_3 = \frac{8}{3}$ или $2 \frac{2}{3}$.

Для $b_4$:

$$b_4 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 6 \cdot \frac{8}{27} = \frac{48}{27} = \frac{16}{9} = 1 \frac{7}{9}$$

Здесь мы возводим $\frac{2}{3}$ в третью степень, получаем $\frac{8}{27}$, и умножаем на 6, что даёт $b_4 = \frac{16}{9}$ или $1 \frac{7}{9}$.

Для $b_5$:

$$b_5 = 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 6 \cdot \frac{16}{81} = \frac{96}{81} = \frac{32}{27} = 1 \frac{5}{27}$$

Возводим $\frac{2}{3}$ в четвёртую степень, получаем $\frac{16}{81}$, и умножаем на 6, что даёт $b_5 = \frac{32}{27}$ или $1 \frac{5}{27}$.

Для вычисления $q$ (коэффициента прогрессии):

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Коэффициент прогрессии $q$ равен отношению второго члена прогрессии к первому, что даёт $q = \frac{2}{3}$.

Для нахождения суммы первых пяти членов прогрессии $S_5$, используем формулу суммы членов геометрической прогрессии:

$$S_5 = \frac{b_1 \cdot (1 — q^5)}{1 — q}$$

Подставляем значения:

$$S_5 = \frac{6 \cdot (1 — \left(\frac{2}{3}\right)^5)}{1 — \frac{2}{3}} = \frac{6 \cdot \left(1 — \frac{32}{243}\right)}{\frac{1}{3}}$$

В числителе у нас $1 — \frac{32}{243} = \frac{211}{243}$, а знаменатель $\frac{1}{3}$. Умножаем числитель на 3:

$$S_5 = 6 \cdot 3 \cdot \frac{211}{243} = 18 \cdot \frac{211}{243} = \frac{18 \cdot 211}{243}$$

Далее упрощаем:

$$S_5 = \frac{18 \cdot 211}{243} = \frac{3798}{243} = 2 \cdot \frac{211}{27} = \frac{422}{27} = 15 \frac{17}{27}$$

Таким образом, сумма первых пяти членов прогрессии равна $S_5 = 15 \frac{17}{27}$.

б) $b_n = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$:

Для $b_1$:

$$b_1 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^0 = -\frac{2}{81} \cdot 1 = -\frac{2}{81}$$

При возведении числа $\frac{3}{2}$ в нулевую степень получаем 1, и тогда $b_1 = -\frac{2}{81}$.

Для $b_2$:

$$b_2 = -\frac{2}{81} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{6}{162} = -\frac{1}{27}$$

Мы умножаем на $\frac{3}{2}$, что даёт $b_2 = -\frac{1}{27}$.

Для $b_3$:

$$b_3 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{2}{81} \cdot \frac{9}{4} = -\frac{18}{324} = -\frac{1}{18}$$

Здесь возводим $\frac{3}{2}$ в квадрат, что даёт $\frac{9}{4}$, и умножаем на $-\frac{2}{81}$, получаем $b_3 = -\frac{1}{18}$.

Для $b_4$:

$$b_4 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{2}{81} \cdot \frac{27}{8} = -\frac{54}{648} = -\frac{1}{12}$$

Мы возводим $\frac{3}{2}$ в третью степень, получаем $\frac{27}{8}$, и умножаем на $-\frac{2}{81}$, получаем $b_4 = -\frac{1}{12}$.

Для $b_5$:

$$b_5 = -\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^4 = -\frac{2}{81} \cdot \frac{81}{16} = -\frac{162}{1296} = -\frac{1}{8}$$

Возводим $\frac{3}{2}$ в четвёртую степень, получаем $\frac{81}{16}$, и умножаем на $-\frac{2}{81}$, получаем $b_5 = -\frac{1}{8}$.

Для вычисления $q$:

$$q = \frac{b_4}{b_3} = \left(-\frac{1}{12}\right) : \left(-\frac{1}{18}\right) = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$$

Коэффициент прогрессии $q$ равен отношению $b_4$ к $b_3$, что даёт $q = \frac{3}{2}$.

Для вычисления суммы первых пяти членов прогрессии $S_5$:

$$S_5 = \frac{b_1 \cdot (q^5 — 1)}{q — 1}$$

Подставляем значения:

$$S_5 = \frac{-\frac{2}{81} \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^5 — 1\right)}{\frac{3}{2} — 1} = \frac{-\frac{2}{81} \cdot \left(\frac{243}{32} — 1\right)}{\frac{1}{2}}$$

В числителе у нас $\left(\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{243}{32}$, и вычитаем 1, получаем $\frac{243}{32} — 1 = \frac{211}{32}$. В знаменателе $\frac{1}{2}$, и затем умножаем на 2:

$$S_5 = -\frac{2}{81} \cdot 2 \cdot \frac{211}{32} = -\frac{4}{81} \cdot \frac{211}{32} = -\frac{221}{648}$$

Таким образом, сумма первых пяти членов прогрессии равна $S_5 = -\frac{221}{648}$.