ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 665 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Запишите выражение для нахождения суммы первых $n$-членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $b_1 = 1$, $q = 5$;

б) $b_1 = 1$, $q = \frac{1}{3}$.

а) $b_1 = 1$ и $q = 5$:
$S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} = \frac{1 \cdot (5^n — 1)}{5 — 1} = \frac{5^n — 1}{4}$;

б) $b_1 = 1$ и $q = \frac{1}{3}$:
$S_n = \frac{b_1(1 — q^n)}{1 — q} = \frac{1 \cdot \left(1 — \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{3(1 — 3^{-n})}{2} = \frac{3 — 3^{1-n}}{2}$;

а) $b_1 = 1$ и $q = 5$:

Формула для нахождения суммы первых $n$-членов геометрической прогрессии:

$$S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1}$$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов прогрессии, сумму которых мы ищем.

Подставим известные значения $b_1 = 1$ и $q = 5$ в формулу суммы:

$$S_n = \frac{1 \cdot (5^n — 1)}{5 — 1} = \frac{5^n — 1}{4}$$

Таким образом, выражение для суммы первых $n$-членов прогрессии будет:

$$S_n = \frac{5^n — 1}{4}$$

б) $b_1 = 1$ и $q = \frac{1}{3}$:

Формула для нахождения суммы первых $n$-членов геометрической прогрессии при $|q| < 1$:

$$S_n = \frac{b_1(1 — q^n)}{1 — q}$$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов прогрессии.

Подставим известные значения $b_1 = 1$ и $q = \frac{1}{3}$ в формулу суммы:

$$S_n = \frac{1 \cdot \left(1 — \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{1 \cdot \left(1 — 3^{-n}\right)}{\frac{2}{3}} = \frac{3(1 — 3^{-n})}{2}$$

Упростим выражение:

$$S_n = \frac{3 — 3^{1-n}}{2}$$

Таким образом, выражение для суммы первых $n$-членов прогрессии будет:

$$S_n = \frac{3 — 3^{1-n}}{2}$$