ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 664 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Дана геометрическая прогрессия $3;6;12;\dots$. Найдите $S_6$; $S_n$.

б) Дана геометрическая прогрессия $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\dots$. Найдите $S_8$; $S_n$.

а) $3;6;12;\dots$

$b_1=3\text{ и }q=\frac{6}{3}=2;$
$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{3(2^n-1)}{2-1}=3(2^n-1);$
$S_6=3(2^6-1)=3(64-1)=3\cdot 63=189;$

б) $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\dots$

$b_1=1\text{ и }q=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2};$
$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{1\cdot ({\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1)}{\frac{1}{2}-1}=\frac{1\cdot ({\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1)}{-0.5}=-2\cdot (2^{-n}-1)=2-2^{1-n};$
$S_8=2-2^{1-8}=2-\frac{1}{2^7}=2-\frac{1}{128}=1\frac{127}{128};$

а) $3;6;12;\dots$

Дана геометрическая прогрессия с первым членом $b_1=3$ и знаменателем $q=\frac{6}{3}=2$. Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$

Подставляем значения для $b_1=3$ и $q=2$ в формулу суммы:

$$S_n=\frac{3(2^n-1)}{2-1}=3(2^n-1)$$

Для нахождения суммы первых 6 членов прогрессии, подставляем $n=6$:

$$S_6=3(2^6-1)=3(64-1)=3\cdot 63=189$$

Ответ: $S_6=189$.

б) $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\dots$

Дана геометрическая прогрессия с первым членом $b_1=1$ и знаменателем $q=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$. Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид:

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$

Подставляем значения для $b_1=1$ и $q=\frac{1}{2}$ в формулу суммы:

$$S_n=\frac{1\cdot ({\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1)}{\frac{1}{2}-1}=\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1}{-0.5}$$

Упростим выражение:

$$S_n=-2\cdot ({\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1)=2-2^{1-n}$$

Для нахождения суммы первых 8 членов прогрессии, подставляем $n=8$:

$$S_8=2-2^{1-8}=2-\frac{1}{2^7}=2-\frac{1}{128}=1\frac{127}{128}$$

Ответ: $S_8=1\frac{127}{128}$.