ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 663 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Рассмотрите геометрическую прогрессию
$3; \, 6; \, 12; \, 24; \, 48; \, \ldots$.
Возьмите любой член этой прогрессии и убедитесь в том, что он равен среднему геометрическому двух соседних членов. (Напомним, что среднее геометрическое двух положительных чисел $a$ и $b$ равно $\sqrt{ab}$.)

2) Пусть последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия, членами которой являются положительные числа. Докажите, что любой член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

3) Найдите члены последовательности, обозначенные буквами, если известно, что эта последовательность — геометрическая прогрессия, в которой $q > 0$:

а) $b_1; \, 6; \, b_3; \, 54; \, b_5; \, b_6; \, \ldots$;

б) $9; \, b_2; \, 27; \, \ldots; \, b_6; \, 243; \, b_8; \, \ldots$.

1) Рассмотрим геометрическую прогрессию: $3; \, 6; \, 12; \, 24; \, 48; \, \ldots$.

$12 = \sqrt{6 \cdot 24};$
$12 = \sqrt{144};$
$12 = 12;$

Действительно, данный член арифметической прогрессии равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов;

2) Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$:
$b_{n-1} = b_1 \cdot q^{n-1-1} = b_1 \cdot q^{n-2};$
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1};$
$b_{n+1} = b_1 \cdot q^{n+1-1} = b_1 \cdot q^n;$

Найдем среднее геометрическое членов, соседних с $b_n$:
$\sqrt{b_{n-1} \cdot q^{n-2} \cdot b_{n+1}} = \sqrt{(b_1)^2 \cdot q^{n-2+n}} = \sqrt{(b_1)^2 \cdot q^{2(n-1)}} = b_1 \cdot q^{n-1} = b_n;$

Что и требовалось доказать.

3) Найдем недостающие члены геометрических прогрессий:

а) $b_1; \, 6; \, b_3; \, 54; \, b_5; \, b_6; \, \ldots$

$b_3 = \sqrt{b_2 \cdot b_4} = \sqrt{6 \cdot 54} = \sqrt{324} = 18 \, (\text{так как } q > 0);$
$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{54}{18} = 3;$
$b_2 = b_1 \cdot q, \text{ отсюда } b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{6}{3} = 2;$
$b_5 = b_4 \cdot q = 54 \cdot 3 = 162;$
$b_6 = b_5 \cdot q = 162 \cdot 3 = 486;$

Ответ: $2; \, 6; \, 18; \, 54; \, 162; \, 486; \, \ldots$

б) $9; \, b_2; \, 27; \, \ldots; \, b_6; \, 243; \, b_8; \, \ldots$

$b_2 = \sqrt{b_1 \cdot b_3} = \sqrt{9 \cdot 27} = \sqrt{9 \cdot 9 \cdot 3} = 9\sqrt{3} \, (\text{так как } q > 0);$
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3};$
$b_7 = b_6 \cdot q, \text{ отсюда } b_6 = \frac{b_7}{q};$
$b_6 = \frac{243}{\sqrt{3}} = \frac{243\sqrt{3}}{3} = 81\sqrt{3};$
$b_8 = b_7 \cdot q = 243 \cdot \sqrt{3};$

Ответ: $9; \, 9\sqrt{3}; \, 27; \, \ldots; \, 81\sqrt{3}; \, 243; \, 243\sqrt{3}; \, \ldots$

1) Рассмотрим геометрическую прогрессию: $3; \, 6; \, 12; \, 24; \, 48; \, \ldots$.
Для того чтобы доказать, что любой член этой прогрессии является средним геометрическим двух соседних членов, возьмём для примера третий член $12$, который находится между $6$ и $24$.

Среднее геометрическое чисел $6$ и $24$ вычисляется по формуле:

$$\sqrt{6 \cdot 24} = \sqrt{144} = 12$$

Таким образом, третий член прогрессии $12$ действительно является средним геометрическим чисел $6$ и $24$, как и все остальные члены этой прогрессии, так как отношение между любыми двумя соседними членами одинаково и постоянно.

2) Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$:

$$b_{n-1} = b_1 \cdot q^{n-1-1} = b_1 \cdot q^{n-2}$$ $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$ $$b_{n+1} = b_1 \cdot q^{n+1-1} = b_1 \cdot q^n$$

Теперь необходимо доказать, что любой член прогрессии $b_n$ (начиная со второго) является средним геометрическим двух соседних членов. Для этого найдем среднее геометрическое двух соседних членов $b_{n-1}$ и $b_{n+1}$:

$$\sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}} = \sqrt{(b_1 \cdot q^{n-2}) \cdot (b_1 \cdot q^n)}$$

Приведём подобные:

$$\sqrt{(b_1)^2 \cdot q^{n-2+n}} = \sqrt{(b_1)^2 \cdot q^{2(n-1)}}$$

Вынесем $b_1$ и $q^{n-1}$ за знак корня:

$$\sqrt{(b_1)^2 \cdot q^{2(n-1)}} = b_1 \cdot q^{n-1}$$

Таким образом, получаем, что среднее геометрическое двух соседних членов равно $b_n$, что и требовалось доказать.

3) Найдём недостающие члены геометрических прогрессий:

а) $b_1; \, 6; \, b_3; \, 54; \, b_5; \, b_6; \, \ldots$

Для нахождения $b_3$ используем среднее геометрическое между $b_2 = 6$ и $b_4 = 54$:

$$b_3 = \sqrt{b_2 \cdot b_4} = \sqrt{6 \cdot 54} = \sqrt{324} = 18$$

Теперь найдём знаменатель прогрессии $q$, используя отношение между $b_4$ и $b_3$:

$$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{54}{18} = 3$$

Теперь можем найти $b_2$, зная, что $b_2 = b_1 \cdot q$:

$$b_2 = b_1 \cdot q, \text{ отсюда } b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{6}{3} = 2$$

Теперь найдём $b_5$ и $b_6$, используя $q = 3$:

$$b_5 = b_4 \cdot q = 54 \cdot 3 = 162$$ $$b_6 = b_5 \cdot q = 162 \cdot 3 = 486$$

Ответ: $2; \, 6; \, 18; \, 54; \, 162; \, 486; \, \ldots$

б) $9; \, b_2; \, 27; \, \ldots; \, b_6; \, 243; \, b_8; \, \ldots$

Для нахождения $b_2$ используем среднее геометрическое между $b_1 = 9$ и $b_3 = 27$:

$$b_2 = \sqrt{b_1 \cdot b_3} = \sqrt{9 \cdot 27} = \sqrt{9 \cdot 9 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$$

Теперь найдём знаменатель прогрессии $q$, используя отношение между $b_2$ и $b_1$:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}$$

Для нахождения $b_7$, используем $q = \sqrt{3}$:

$$b_7 = b_6 \cdot q, \text{ отсюда } b_6 = \frac{b_7}{q}$$

Теперь найдём $b_6$, используя $b_7 = 243$:

$$b_6 = \frac{243}{\sqrt{3}} = \frac{243\sqrt{3}}{3} = 81\sqrt{3}$$

Наконец, найдём $b_8$, используя $q = \sqrt{3}$:

$$b_8 = b_7 \cdot q = 243 \cdot \sqrt{3}$$

Ответ: $9; \, 9\sqrt{3}; \, 27; \, \ldots; \, 81\sqrt{3}; \, 243; \, 243\sqrt{3}; \, \ldots$